Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
2 dl
231. R = f где элемент dl направлен по нормали к эквипотенциальной
поверхности с площадью 5; цифрами 1 и 2 обозначены граничные поверхности.
<?oi = ^-(?1 - Ео).
232.
233.
Постоянный ток 307
234. Jk =
235. С=- i
236. q = : i
237. R = -t
238. R=-
где R\ = i 2жха\
?
AirxR
4(tm) С?2 -СПС22 '
^ = л. + л"-^3"л. + л,
, Дг = 2я}еа----сопротивления уединенных заземлителей
(см. задачу 233).
239. Обозначим через ео = ^ эксцентриситет эллипсоидов
вращения (b/а - отношение меньшей полуоси к большей). Тогда
R=h (^) 3 ^ е0е0)
- в случае сплюснутого эллипсоида вращения,
, ji^)i lni±"" х 1 1 - е0
(6тг2К)Зе0
- случае вытянутого эллипсоида вращения.
Более выгодной (при фиксированном объеме V) является сильно вытянутая
или, наоборот, очень сплюснутая форма заземлителей.
240. Плотность тока в пространстве между электродами
j=pv (1)
не зависит от х (у(х) - скорость частиц в данной точке х). Скорость
связана с потенциалом <р(х) формулой
. - (2) = 0 при х = 0).
308
Глава IV
Из (1) и (2) следует, что р = принимает вид
(Pip
Д У _ _л~~ I т dx2 У 2еч>
, так как уравнение Пуассона
(3)
Интегрируя (3)с граничными условиями ^ = 0 и tp\ _ =
<ро,
ах 1=о "
получим
("закон трех вторых").
Э =
97Га
/2|е|
2 V т
Глава V
ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
241
Hr = Hz = о, на
сх &1|/п I -ч и,,
са
при а < г < 6,
О при г > Ь.
242. Рассмотрим решение задачи методом векторного потенциала. Если
направить ось z вдоль оси цилиндра, то прямоугольные компоненты А будут
удовлетворять уравнениям:
Поскольку в уравнения для Ах и Ау заданный ток J не входит, эти
компоненты можно считать равными нулю; Аг будет зависеть только от
расстояния г до оси z. Интегрируя уравнение для Аг и используя условия
непрерывности Аг и На на границе г = а и ограниченности Н при г = О,
получим: при г < а
ААХ = О, AA" = 0, AAz = -^pjz,
(1)
причем jz = 0 при г > a, jz = -=-^ при г < а.
(2)
при г > а
(20
Константа С - произвольна.
310 Глава V
243. При г < а
Az = Ci, В = 0;
при а ^ г ^ Ь
2n0Ja2 / , г2 \ 2/ц,^ /_ а2у
2 c(b2 - а2) V а 2а2/ " с(62 - а2) V *¦ )'
при г > Ь
Az = -7Г- In ^ + Сз, Ва = Ц?.
Остальные компоненты А и В равны нулю. Две любые константы, входящие в
Az, можно выразить через третью, использовав условия непрерывности
векторного потенциала на границах.
244. Нх = -Ц-(arctg+ arctg ,
" (х_|)2 + у2 Ну = -^( aV Hz = °-
(x + f) +у2
Ось у перпендикулярна полосе и проходит через ее середину.
245. Пластины отталкиваются с силой
, 4J2 ( . a I., а2 + Ь2\
t = м(аа1,ЛЧ-
246. A, = i?tog = ^l"li±f?±4,
с п С (а - х) + у д- _ дАг _ 8J о.ху
Н - - 2J /а- х ^ а + х\
v 9х с V г2 г\ /'
Координаты проводников с током в перпендикулярной к ним плоскости равны
(а, 0) для тока +"^ и (-а, 0) для тока -п и г2 - расстояния от точек (а,
0) и (-а, 0) до точки наблюдения.
247. а) Между плоскостями Н = Щ-i, в остальном пространстве Н = 0;
б) между плоскостями Н = 0, в остальном пространстве Н = Щ-i. В обоих
случаях магнитное поле направлено перпендикулярно току и параллельно
токонесущим плоскостям.
Постоянное магнитное поле
311
248. Ну = -Нх = Нг = 0; ось у нормальна к плоскости,
с(Ь - а )
проведенной через оси цилиндров.
249. В цилиндрической системе координат, ось z которой перпендикулярна
плоскости кольца и проходит через его центр,
(?)^ [(| - к)К(к) - 1Е(к)\ > А* = АГ = 0,
где К(к) и Е(к) - полные эллиптические интегралы Лежандра, к2 = _ Ааг {а
+ г)2 + z2'
Компоненты магнитного поля:
тт _ М iif - •
ry/(a + r)2 + z2 z
н =2J _____________
0 y/(a + r)2 + z2
_лг(Ч + ^±4±4ад
. (а - г)* + z* .
а2 -г2 -z2 '
К(к) + Т--^~^Е(к)
(а - г)2 + z2 На оси витка (г = 0) эти выражения переходят в
2жа2^
На = 0.
Нг = 0, Hz =
c(a2 + z2f/2'
250. В любом сечении такой трубки поток индукции будет один и тот же.
Поэтому уравнение поверхности трубки:
N = J В • dS = f(r, z) = const, s
где поверхность интегрирования S представляет собою круг радиуса г в
плоскости, перпендикулярной оси симметрии (центр круга лежит на оси
симметрии). Так как Аа не зависит от а, то с помощью теоремы Стокса
получим
J В • dS = <j> А • <й = 2жrAa(r, z) = const.
Линии пересечения этих поверхностей с плоскостями а = const и дают
искомые линии магнитной индукции.
312
Глава V
к = = t wfl<2",(2)(l)2" = я" - тя"<*>+• • • •
251. Компоненты магнитного поля:
Эф g. (-1)" /~^2п
На = 0.
2n-1
Векторный потенциал выражается через напряженность магнитного поля с
помощью теоремы Стокса и соотношения Н = rot А:
Г
>{r,z) = \ j Нг
г dr
у* (-1Г
п!(п +1)!
I)
2n+l
§Я(г)
252. Hz = 2тг^(cosfli+cosftz), где (см. рис. 68):
h - z
cos 01 =
cos 02 =
у/a2 + (h - z)2'
л/а2 +
253. Решим задачу методом векторного потенциала. Плотность поверхностного
тока, возникающего при вращении сферы,
• еш • а
1 = еа-:- sint; 4п а
рис gg (полярная ось выбрана вдоль векто-
ра и>). Векторный потенциал во всех точках, не лежащих на поверхности
сферы, удовлетворяет уравнению Лапласа. Как следует из симметрии системы,
векторный потенциал можно выбрать так, чтобы была отлична от нуля только
