Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
получить лишь порядковую оценку. Точный квантовомеханический расчет дает
для водорода /3 = 7jao-
§ 1. Поляризация вещества в постоянном поле
331
Определяя затем р' и р" из системы (1), с помощью формулы р = р' + р" =
(З^Е найдем
/3(1)
+
I 2(а3 + 20') i 2(а3 + 20")
13' а3(а3 + 20") 0' а3 (а3+ 20')
б) Внешнее поле перпендикулярно оси молекулы. Аналогичным путем получаем
/3(2) = /3(3) =
+
1 . Д3 - 0'
0' а3(а3 - 0") 0" ' а3(а30')
_L+ а3-0"
При 0' = 0" выражения (3^ и (3^> упрощаются:
/3(1)
2/3'
1 -
2/3'
, /?(2)
2/3'
1 +
0'
Средняя поляризуемость
/3 = J(/3(1) +/3(2)) = |/3'
20'
+
\
1 +
а3/
301. а) Диэлектрик в целом будет анизотропным. Главные значения тензора
поляризуемости диэлектрика (ср. (VL4')):
а
(О
ЛГ/3(0
1 - 4рЛГ/3"
б) В случае беспорядочной ориентации молекул в макроскопических объемах
диэлектрика не будет никаких физически выделенных направлений, кроме
направления внешнего поля. Поэтому средний дипольный момент молекулы р
будет пропорционален действующему на молекулу полю &:
Р = (3S-
332 Глава VI
С другой стороны, имеем, очевидно:
Pi = 0ik@k = Pik^k,
где усреднение производится по макроскопическому малому объему. Из
сравнения двух последних формул следует, что
0 = 0п = 022 = 033, 0ik = 0 (при i ф к).
Таким образом,
0 = ^0^11 + 022 + 033)-
Но сумма диагональных компонент тензора есть инвариант, равный сумме
главных значений 0^ + 0^ + 0^ (см. задачу 9). Поэтому
0=l(0W+0(V+0(V).
Коэффициент поляризации диэлектрика а связан с 0 обычной формулой (VL4').
302. Если ось молекулы ориентирована под углом в к направлению внешнего
поля Ео, то энергия молекулы запишется в виде
W = -\р • Е0 = -|(/3i cos2 в + 02 sin2d)E%.
Число частиц в единице объема, оси которых направлены под углом в
относительно Ео, дается формулой Больцмана (VI.6). В условии нормировки
(VI.7) величина N должна иметь смысл числа частиц в единице объема.
Вектор поляризации определяется формулой Р = Np, где р - усредненный по
распределению Больцмана дипольный момент одной молекулы. Поскольку в
отсутствие поля молекулы ориентированы хаотически, р будет иметь
направление внешнего поля.
В соответствии с этим вычисляем величину р по формуле
Ео / exp (~ ) № cos2 ^ + 02 sin2 0) sin в d6
/е3ф(-1s[ned0
где через рц обозначена компонента дипольного момента молекулы,
параллельная полю. По условию задачи поле - слабое, поэтому достаточно
P=^JP\\dN
§ 1. Поляризация вещества в постоянном поле
333
" {01 - 02)Ei "
учитывать только члены, линеиные по а = -- - <С 1. Использовав
2к1
далее формулы Р = Np = аЕо, получим окончательно
2 (/?! - 02)Eq 1
а = ЛГД2 + 1лГ(/31-/32)[1 +А:
кТ
Как видно из этой формулы, зависимость между Р и Ео получается
нелинейной, и а не является коэффициентом пропорциональности, не
зависящим от Ео. Оценим величину поправочного члена при обычных
температурах (Т = 300 К). Считая /3i - /32 порядка 10 см3, получим и
106. Таким образом, этот член мал, если Ео <. Ю3 в/см.
Pi - Р2
Пренебрегая поправочным членом, получим для а прежнее выражение:
а=|АГ(/31+ 2/32)
(см. задачу 301).
305. Дополнительный потенциал, обусловленный квадрупольной поляризацией
диэлектрика, запишется в виде
д2(1 /R)
Ч>
где R - расстояние от точки наблюдения до элемента объема dV, а
интегрирование ведется по объему диэлектрика. С другой стороны, потенциал
объемных и поверхностных зарядов в общем случае имеет вид
^=ji',v+jidS+j^^{\)dS' <2>
где р' - плотность объемных зарядов, а' - плотность поверхностных
зарядов, т' - мощность двойного слоя. Приведя (1) к виду (2), получим
1 d2Qik 1 dQin 1Л _ /ч,
р=2 m&Tt' а=~2'Ж' = 2 <3)
Таким образом, квадрупольная поляризация эквивалентна объемным зарядам р'
внутри диэлектрика, поверхностным зарядам а' и двойному электрическому
слою с мощностью т' на поверхности диэлектрика. Поскольку
334 Глава VI
плотности объемных и поверхностных зарядов в диэлектрике связаны с
вектором поляризации формулами р' = - div Р', а' = Р^, то из (3) следует,
что квадрупольная поляризация эквивалентна дополнительной дипольной
поляризации
р/ = _1 dQik к 2' дх i
и двойному слою с мощностью т'к.
Формулы (3) можно получить также из рассмотрения энергии диэлектрика,
обусловленной квадрупольной поляризацией.
306. ?=\
¦ 1
l + 3x + 3(l + |x + x2)2
где х = 4nN0. Поляризуемость 0 для полярных веществ в слабых полях дается
формулой
Р ЗкТ'
где р - дипольный момент молекулы, к - постоянная Больцмана, Т -
температура.
При 1<1, когда отличие действующего на молекулу поля от среднего поля
становится очень малым,
Е = 1+ ? = 1+ 4 7tN0.
307. Полная магнитная восприимчивость равна сумме парамагнитной и
диамагнитной восприимчивостей (см. [101]):
Nm?_Neip (1)
Х ЗкТ бтс '
Входящий в эту формулу магнитный момент одного ротатора m может быть
вычислен следующим образом. На основе известной теоремы имеем
m=2tK' <2>
где К - момент количества движения частицы. В случае ротатора К связан с
кинетической энергией формулой
w*=??- <3>
