Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
[90], 8.113, 8.114):
т = f(i+i*2+?4 E(k) = |(i.- it>.- ^t*).
Оставляя в выражении для Ь\2 только члены, пропорциональные к3, по-
q 2 2t2
лучим в первом неисчезающем приближении Ь\2 = ° ¦ Последний
_ /
результат легко получить и из равенства Ь\2 = а , рассматривая кольца с
током как магнитные диполи. 1
При а " 6 " ?, А: " 1, К(к) " In 4 , ?(/;) " 1,
•\Л - к2
у 12 = 47га^1п ¦
8а
ф2 + (а - 6)2
266. В обозначениях предыдущей задачи 47rJ?iJ?2 i
-2)'
F =
V(a + 6)2 + 12
318 Глава V
267. !? = Aim2 S. Для соленоида большой, но конечной длины h,
пренебрегая краевым эффектом, получим полную индуктивность
L = 4itn2Sh.
268. Вычисляем магнитную энергию по формуле
w=i?jhirdS'dS-
Здесь dSi и dS2 - элементы поверхности соленоида, R - расстояние между
ними, через i (ii = гг = г = пУ) обозначена плотность поверхностного
тока, которым заменен ток, текущий в обмотке соленоида, п - число витков
на единицу длины.
Интеграл удобно вычислять в цилиндрических координатах:
W =
h h
жп2а2?2 [ . [ . / cos a da
с2
J dzi J dz2 j)
yj{z\ - Z2)2 +4a2 sin2 |
2AW/,(l -
c2
где отброшены все члены порядка и выше. Отсюда
1 = А'А(1"м)'
Если пренебречь членом a/h по сравнению с единицей, то получится
результат предыдущей задачи:
L = 47r2a2n2/i = 4irn?Sh.
269. Для кругового сечения
L = 4тгАГ2(6 - \/<>2 - а2).
Самоиндукция на единицу длины S? = для бесконечного соленоида
27Г о
получится, если сделать предельный переход 6 -> оо при заданном числе
N
витков на единицу длины п =
Z? = 47г2п2а2 = 47гп25
(ср. с задачей 267).
Постоянное магнитное поле
319
Для прямоугольного сечения L = 2N2h\n
26 - а
При 6>а опять имеем Z? = 47rn25.
Если ток течет непосредственно по оболочке тора, то самоиндукция
уменьшается в N2 раз по сравнению с самоиндукцией тора, обмотанного
проводом. В соответствии с этим будем иметь:
L = Аж(Ь - у/b2 - а2)
для тора круглого сечения и
г nr, 1 2Ь + а
L = 2hln --------
26 -а
для тора прямоугольного сечения.
270. Вычислим магнитную энергию единицы длины линии по формуле (V.16).
Векторный потенциал прямого провода с током был получен в задаче 242. Для
провода 1 (рис. 70) запишем его в виде
$г2
Аи =С----------f при ri < а,
са
Аи = С - + 21п^) при п > а.
(1)
Векторный потенциал, создаваемый проводом 2, получится при замене в (1) J
на -J, а на 6 и г\ на г2.
Находим магнитную энергию:
W = 2^Ь /+ Mz) dSl ~ 2мб2 /+ Mz) dS2' (2)
1 2
Интегралы, входящие в (2), можно вычислить, использовав формулу (3.765)
из справочника [90]. Учитывая затем связь между коэффициентом
индуктивности и магнитной энергией системы, получим окончательно:
<? = 1+21п^.
ab
320 Глава V
271. Полная магнитная энергия тока, протекающего по проводнику,
складывается из двух частей:
W = WX + W2, (1)
где
/я?
Wx = ^ I HfdV
- энергия, запасенная внутри проводника и интегрирование ведется по
объему проводника,
- энергия, запасенная в остальном пространстве.
Предположим, что можно ввести параметр го, имеющий размерность длины и
удовлетворяющий условию
а " г0 " Л, (2)
где а - радиус проводника, Л - радиус кривизны осевой линии проводника
(который в общем случае меняется от точки к точке). Тогда на расстояниях,
меньших го, магнитное поле можно считать совпадающим с полем бесконечного
прямого провода. В частности, внутри провода:
са
(см. задачу 242). Это позволяет найти "внутреннюю" энергию W\:
WX = (3)
Для определения "внешней" энергии W2 построим вспомогательную поверхность
5, опирающуюся на произвольный контур, лежащий на поверхности проводника,
и введем скалярный потенциал ф. Скалярный потенциал будет испытывать на 5
скачок
ф+-ф- = ^. (4)
Интеграл, через который выражается W2, можно преобразовать следующим
образом:
J В grad ф dV = - J div(V'B) dV = - ? фВп dS
Постоянное магнитное поле
321
(здесь опущен индекс 2 и использовано уравнение div В = 0). В последнем
интеграле интегрирование должно проводиться по обеим сторонам
вспомогательной поверхности 5 и по поверхности проводника S' (см. рис.
71, на котором изображено сечение проводника некоторой плоскостью).
Интеграл по бесконечно удаленной поверхности обращается в нуль вследствие
конечных размеров проводника с током. Таким образом,
Первый из этих интегралов обращается в нуль, так как в силу условия (2)
магнитное поле на поверхности S' совпадает с полем прямолинейного провода
и имеет, следовательно, только касательную составляющую. Для
преобразования других двух интегралов нужно использовать равенство (4) и
условие непрерывности компоненты Вп. Получим
На больших расстояниях от провода (г > г о) магнитное поле не зависит от
распределения тока по сечению проводника, поэтому можно считать, что ток
течет по оси. На малых расстоя-
по оси проводника, через поверхность,
которая опирается на замкнутый контур, лежащий на поверхности проводника.
Используя выражение потока через коэффициент взаимной индукции (V.22),
получим
Ji>BndS+±J ф+Вп dS-±J ф-Вп dS. (5)
S'
s
s
(6)
s
ниях (a ^ r < го) это поле совпа- .9'
