Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
S'
дает с магнитным полем бесконечного круглого цилиндра, и тоже можно
считать, что ток течет по оси. Таким I /~
образом, интеграл в формуле (6) представляет собою поток магнитной
индукции, создаваемой током, текущим
Рис. 71
(7)
С помощью формул (1), (3), (7), используя связь между коэффициентом
самоиндукции и магнитной энергией системы, получим требуемую формулу для
коэффициента самоиндукции:
322 Глава V
111. Используя результат предыдущей задачи, получим
L' = 4irfib(ln^ -2),
где (го - магнитная проницаемость среды, в которой находится проводник.
Полная самоиндукция
L = 4тгb(ji In ^ - 2ц + |/х0)
или, если /хо = Н = 1,
273. Ln = 21 - 2Уаа + Р + 2вЬ ° + +
274. Используя результат задачи 273, получим
L12 = 8
i - 2 х/о2+]2 + 2\/2а2 + /2+
I о + 1 cl Ч- у/2а2 +12
+ a In-----------:-----------а In
Va2 + /2
F =
8J1J2
а2 + 212 iV^aFTJ2
275. L - 2Hob -|- 8fj.b
ln
UV^Tl2 a2 +12
- 1- n/2 - 2
-1
a(l + V2)
276. Используя при интегрировании по ушам в формуле (V.13) соотношение
Щйк = ^<5** (см. задачу 32), получим:
в случае равномерного объемного распределения заряда,
еа2 m = ш;
5с
в случае равномерного распределения заряда по поверхности,
Постоянное магнитное поле
323
Если применить эти формулы к шару, радиус которого равен классическому
радиусу электрона (2,8 • 10"13 см), а магнитный момент равен известному
из опыта магнитному моменту электрона (0,9 • Ю-20 эрг/гс), то окажется,
что линейная скорость v = аи> ~ 1013 см/сек на экваторе такого
"электрона" превышает скорость света в вакууме. Это показывает
непригодность классических представлений для описания спина электрона.
Подробнее об этом см. [111, 6].
278. Вторичное поле Н' удовлетворяет уравнению rotH' = 0, т. е. является
потенциальным. Введя скалярный потенциал по формуле Н' = = - graАф,
получим для него уравнение, совпадающее с уравнением электростатики в
неоднородной среде:
div(^i grad гр) = -4жрт,
где величина
Рт = - ^~Н0 • grad/i
играет роль плотности магнитных зарядов.
На границе раздела двух сред должны выполняться условия для касательных
компонент поля:
тт/ _ И1ТН дгр! _ дф2
Н1т-Н2т или дт ~ дт
и для нормальных компонент поля:
М2#2п - М1Я1п = (Ml - А*2)#0" И(tm) Ml ^ = 47Г<Тт.
Здесь величина
- j (Л^1 М2)Яоп
47Г
играет роль плотности поверхностного заряда. Заметим, что это выражение
для ат может быть получено и из формулы для объемной плотности рт путем
предельного перехода:
СГт = Иш Pjjj/i.
Л-> о
Заменим поверхность раздела тонким слоем толщиной h. Тогда grad ц, будет
- Ц2 ~ Р>1
направлен по нормали к слою и будет равен --, откуда
324 Глава V
279. Hi= ^ HQ,H2= ^ Hq,
Ц1+Ц2 Ц1+ Ц2
где Но - поле, создаваемое контуром с током в вакууме, Hi, Н2 - поля в
средах с проницаемостями ц\, Ц2-
280. Магнитное поле в среде 1 совпадает с полем, создаваемым в вакууме
двумя прямолинейными токами
^ Ml + М2
ток течет по тому же проводу, что и начальный ток ток $2 течет вдоль
провода, который является зеркальным изображением первого провода
относительно плоскости раздела сред.
Магнитное поле в среде 2 совпадает с полем, которое создается в вакууме
током У, текущим по тому же проводу, что и начальный
ток У.
281. Векторы поля удовлетворяют во всем пространстве однородным
уравнениям rot Н = 0, div В = 0, поэтому можно ввести скалярный потенциал
ф (Н = - grad ф), который будет удовлетворять уравнению Лапласа. В
результате задача магнитостатики сведена к задаче электростатики. Решение
имеет вид (см. задачу 149):
внутри шара
и, = ^н";
вне шара
Н2 = Но + Ндип, где Ндип - поле, создаваемое магнитным диполем с моментом
т=^аЗНо-
Поскольку поле внутри шара однородно, намагниченность постоянна:
М = -53- = 3(Р-1} Но.
4тг аз An(fi + 2)
3
Плотность эквивалентного объемного тока будет поэтому равна нулю:
Jmoji = crotM = 0.
Постоянное магнитное поле
325
Плотность поверхностного тока можно определить по формуле
1мал = c[n X (М2 - Mi)],
которая получается из (V.3) путем предельного перехода (ср. с выводом
граничного условия для Нт из уравнения Максвелла). Подставляя М2 = О и Mi
= М, найдем:
Интересно отметить, что такой поверхностный ток можно получить, если
заставить вращаться вокруг одного из диаметров сферу, заряженную
равномерно по поверхности (см. задачу 253).
282. Если направить оси координат вдоль главных осей тензора магнитной
проницаемости, то внутри шара компоненты поля будут рав-
При hi Ц2 поле в полости сильно ослабляется - происходит магнитная
экранировка.
Момент сил, действующих на шар:
N = m х Hq.
283. Я = 1-
Я".
284. Я = 1 -
Н0.
При hi /х2 поле сильно ослабляется (Я <С Но).
326 Глава V
285. Магнитное поле
Н = rot А,
где
HiJ 2 , 2Mi D • ^
Az =-----------г Н----;--BnT'sina при г < а,
4тг a2 Mi + М2 к .
. Мг*^ , а , Л . Mi "М2 а2\ с . ^
= ^Г1П г + I1 + -ЦГ+JT2 • ^J^orsina приг > а.
Ось z направлена вдоль оси цилиндра; остальные компоненты А равны
нулю.
"¦ /- ^:лг1)
289. /
с 6(6 - а )(ц + 1)
2J?26(/j - 1) с2(a2 - 62)(/*+ 1)
