Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
290. Hi = -L----------21гд1далз--------н
tH щц2аз +Ц2Ц3ОС1+Ц1Ц3ОС2 и'
где Но - поле, которое создается тем же током в вакууме.
291. Во внешней области индукция В и магнитное поле Н связаны обычным
соотношением В2 = М2Н2. Внутри шара, сошасно (V.27), Bi = = Д1Н1 +47гМо,
где Мо - постоянная намагниченность. Вводя скалярный потенциал, как в
задаче 281, получим
m • г
= -Hi - г, ф2= ч г*
где
тт 47гМо 47га3Мо
xii = ---------------------------, ш = --.
2/Х2 + Ml 2/i2 + Ml
Таким образом, поле внутри шара однородно, а вне шара совпадает с полем
магнитного диполя с моментом т.
292. Поле внутри цилиндра:
тт 47гМ0 ±11 =--------;-----.
М2 + Ml
Постоянное магнитное поле
327
Поле вне цилиндра:
тт 2г(ш • г) m
2 = -------------Т,
Поле вне шара:
(1)
где
Так как внешнее поле однородно, то результирующая сила, действующая на
шар, равна нулю. Но если направления Мо и Но различны, то на сферу будет
действовать момент сил. Его можно рассчитать с помощью тензора натяжений
магнитного поля. Момент сил, действующих на постоянный магнит,
определяется формулой
где Tim - тензор натяжений (V.26), ем - единичный антисимметричный
тензор, интегрирование ведется по внешней поверхности магнита. Подставляя
(V.26) в (2) и переходя к векторным обозначениям, получим
Так как начало отсчета выбрано в центре шара, то г и dS имеют одинаковые
направления, и второй интеграл в (3) обратится в нуль. Для вычисления
первого интеграла положим dS = n dS = па2 dSl, г = ап и подставим Н2 из
(1). Это даст
(2)
s
j{ г х Н2)(Н2 -dS)-±j Н2( г х dS). (3)
J [а3(п х Н0) + m х п] ^Н0 • п +
l) dQ. (4)
328 Глава V
Переходя снова к проекциям, получим
Ni = я Н01НQjnTifcTijn 4- 2elklHoimsnknsН-
_____ о ____
+ eikimkHomninm + ^eifc/mfcmsn/ns. (5) a6
С помощью соотношения ПкПт = ^Skm (см. задачу 32) найдем, что два из
четырех членов в правой части равенства (5) обратятся в нуль, а остальные
дадут
N = m х Но (6)
или окончательно, если выразить m через постоянную намагниченность,
N = х Н0. (7)
Как видно из этой формулы, индуцированная часть магнитного момента (^ _|_
2q3Ho) не вклада в результирующий момент сил.
р- 3 М-1 m2(l + cos2 в) _ ц - 1 гп2 sin в cos в
2Ч4- * - 1б'^Г+2 ^ • - /Г+~2 .таеа-
расстояние от магнита до плоскости, в - угол между m и нормалью к
плоскости. При ц s> 1 (мягкое железо в слабом магнитном поле) получим
такой же результат, как в случае электрического диполя, находящегося
вблизи металлической плоскости (см. задачу 148).
295. Искомые величины можно получить путем замены в ответе к задаче 201
электрических величин на соответствующие магнитные. В частности, при
произвольном выборе координатных осей внутреннее поле Hi в эллипсоиде
запишется в виде
Hik = Нок - 4irNk[M[,
где М - вектор намагниченности, Nki - коэффициенты размагничивания
(компоненты тензора размагничивающего действия формы). Главные значения
этого тензора обозначены в задаче 197 через и называются там
коэффициентами деполяризации.
296. Формула, приведенная в ответе предыдущей задачи, остается
справедливой и в случае анизотропного магнетика. Имеет место еще одно
соотношение, связывающее М и Hi:
Н1к + 47г Мк = Mfc/Nn.
Постоянное магнитное поле 329
Из этих двух формул получаем
tfofc =
где
Ькт = <5fcm Nkm "I"
Отсюда
= ^fcm^Orjn
где - компоненты обратного тензора. Они могут быть определены с помощью
формул, полученных в задаче 11.
Рассмотрим один частный случай. Выберем оси координат вдоль главных осей
эллипсоида. Если тензор fiik имеет в этих осях диагональный вид:
0 0 \
О цЬ) о ,
О 0 H(z))
то тензор bik будет диагональным, поэтому и обратный тензор Ь~^ также
будет диагональным:
([1+JV<*> (#*<*> - 1)]_1 о о \
О [l+TV^V^-l)]"1 о .
о о [i+w(*Vi)-i)]_1/
Глава VI
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА
§ 1. Поляризация вещества в постоянном поле
297. /9= fag.
Если заряд электрона распределен равномерно внутри сферы с радиусом ао то
/3 = ад.1
299. Из симметрии молекулы очевидно, что одна из главных осей тензора
поляризуемости будет совпадать с осью молекулы, а две другие оси могут
быть выбраны произвольно в плоскости, перпендикулярной оси молекулы.
Поэтому из трех главных значений тензора поляризуемости только два будут
различны: /3^ = Для их определения нужно отдельно
рассмотреть следующие случаи:
а) Внешнее поле направлено по оси молекулы. Очевидно, что индуцированный
дипольный момент каждого из атомов будет направлен вдоль внешнего поля.
Обозначив эти моменты соответственно через р' и р", получим для их
определения два уравнения
р' = /?'(Е + Е'), р" = /?"(Е + Е"), (1)
где Е - внешнее поле, Е' и Е" - дополнительные поля, вызываемые в центре
каждого из атомов присутствием другого атома. Поля Е' и Е" можно выразить
через дипольные моменты соответствующих атомов, воспользовавшись формулой
для напряженности поля, создаваемого диполем с моментом р и учитывая, что
все векторы направлены вдоль оси молекулы.
1 Модель, рассмотренная в этой задаче, очень груба и позволяет
