Задачи по физике и методы их решения - Балаш В.А.
Скачать (прямая ссылка):
равновесии, его ускорение .равно нулю (а = 0); следовательно,
2T-Ni = 0. * (4)
52
Наконец, используя заданные характеристики движения, составляем
кинематическое уравнение для одной из гирек, учитывая, что за указанное
время каждая из них проходит расстояние, вдвое меньшее h:
Система уравнений (1) - (5) содержит пять неизвестных: а, m2, Т, N и jVi,
которые нам требуется найти.
Решая уравнения (1) - (5) совместно относительно этих величин и
подставляя числовые значения, получим:
Пример 2. На столе лежит кубик массой т. К кубику прикреплена идеально
гладкая цепочка, свешивающаяся со стола. К свободному концу цепочки
подвешен грузик массой 4т. Предоставленная самой себе, система приходит в
ускоренное движение. Определите натяжение в середине цепочки в тот
момент, когда со стола свисает 2/3 цепочки. Коэффициент трения между
кубиком и поверхностью стола равен р, масса цепочки М.
Решение. По условию задачи нужно определить внутреннюю силу, действующую
во время движения между половинками цепочки, поэтому систему нужно
"разрезать" в середине цепочки и рассмотреть движение каждой из
образовавшихся частей системы отдельно.
Делаем схематический чертеж (рис. 2.2, а), указываем на нем вектор
ускорения а в тот момент, когда со стола свешивается 2/3 цепочки.
Движение системы будет неравномерно ускоренным с возрастающим ускорением,
поскольку за счет перемещения цепочки сила тяги в направлении движения
возрастает.
Рисуем обе части системы отдельно и расставляем приложенные к ним внешние
силы (рис. 2.2,6). На кубик и верхнюю половину цепочки действуют сила
тяжести кубика, равная mg, сила тяжести горизонтальной части цепочки,
равная -j- (здесь Q - = Mg), сила тяжести свисающей части цепочки, равная
сила трения Ктр, реакции стола Ni и N2, сила натяжения Т
(со стороны нижней половины цепочки). Под действием этих сил кубик и
половина цепочки имеют в рассматриваемый момент времени ускорение а,
направленное в сторону движения. Согласно второму закону динамики для
этой части системы будем иметь:
Т = mi (g а) = 0,96 Н; jV = 2mia = 3,8 • КГ3 Н; Ni = 2Т ж 1,9 Н.
53
в.
2
4mf
Рис. 2.2
Если задан коэффициент трения (или его надо • зйти), то силу трения
необходимо представить в развернутом виде: Етр = рА,1 = - \irng
(поскольку в данном случае N\-mg) -и переписать основное уравнение более
подробно:
т 1 / , м \
т + ------= + - )а. (1)
К грузу и второй половине цепочки приложены силы тяжести,
Q
равные соответственно 4mg и
и сила натяжения Т, дей-
ствующая со стороны верхней половины цепочки. По условию задачи эта часть
рассматриваемой системы опускается вниз с ускорением а, поэтому,
проецируя силы и ускорение на ось, направленную так же, как ускорение,
уравнение второго закона Ньютона -в проекциях запишем так:
Mg " , М'
*mg + -^~-Т = (4 т + -) а.
(2)
Система уравнений (1) - (2) содержит две неизвестные величины а и Т.
Решая их совместно относительно искомого неизвестного - силы натяжения,
действующей в середине цепочки, получаем:
Т =
(8m + М) (3m + М + Зцт)
30т + 6А1
Пример 3. На наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол а = 30°,
находится груз массой тг - 2 кг (рис. 2.3,а). К грузу привязан легкий
шнур, перекинутый через блок, укреплен-
54
ный на вершине наклонной плоскости. К другому концу шнура подвешена гиря
массой т.\ =20 кг. Предоставленная самой себе, система приходит в
равноускоренное движение. Определите ускорение грузов и силу давления на
ось блока при условии, что коэффициент трения между грузом и плоскостью
равен ц = 0,1. Массу блока не учитывать.
Решение. В задачах о движении тел по наклонной плоскости рекомендуется
прежде всего установить направление движения. Для этого необходимо
расставить все внешние силы, действующие на систему грузов в целом, и,
спроецировав их на линию скорости и перпендикуляр к ней, определить
направление ускорения. Можно легко доказать, что в данном примере гиря
будет опускаться, а груз подниматься по наклонной плоскости.
а) Рассмотрим движение каждого тела отдельно. На гирю дейг-ствуют сила
тяжести, равная m{g, и сила натяжения шнура Т. Поскольку гиря опускается
ускоренно, то
mig - Т - m\a. (1)
б) На груз действуют сила тяжести, равная m2g, сила натяжения шнура Т,
сила трения Frp и нормальная реакция опоры N (рис. 2.3, б).
Чтобы составить основное уравнение динамики для груза и выявить причины
изменения модуля и направления вектора скорости, выбираем систему отсчета
- наклонную плоскость и связанную с ней прямоугольную систему координат.
Ось Ох направим вдоль наклонной плоскости в сторону движения груза, ось
Оу - перпендикулярно наклонной плоскости.
Находим проекции сил на оси Ох и Оу. Они равны соответственно -m2g sin а,
Т, -Дтр, 0, -m2g cos а, 0, 0, N.
Под действием приложенных сил груз массой т2 ускоренно поднимается по
наклонной плоскости, поэтому основное уравне-
55
ние динамики в проекциях на ось Ох имеет вид:
Т -- m2g sin а - FTp = m2a, (2)
или
