Задачи по физике и методы их решения - Балаш В.А.
Скачать (прямая ссылка):
деляется лишь горизонтальным ускорением а системы (у нас а = а"). Этот
результат имеет общий характер, и его полезно помнить.
60
Исключая из уравнений (1) - (4) tga, cos а и a0 и решая их относительно
искомых неизвестных а\ и Т, получаем:
vV + О2 - 2,ag - а
а 1
Т =
ai" 2,16 м/с ;
2m ( /g2 + а2 +
а)
10,1 Н.
При подстановке числовых значений в формулу, полученную для ускорения ai,
оно получилось положительным. Это значит, что мы выбрали правильное
направление полного ускорения большего груза - влево.
Пример 6. Брусок массой М находится на гладкой горизонтальной
поверхности, по которой он может двигаться без трения. На бруске лежит
маленький кубик массой .пг (рис. 2.6). Коэффициент трения между кубиком и
бруском равен р. При каком минимальном значении силы F, приложенной к
кубику, он начнет скользить по бруску? Какую скорость будет иметь брусок
в тот момент, когда кубик упадет с бруска, если сила тяги будет равной
2К? Длина бруска L.
Решение. Двигаясь в горизонтальном направлении, кубик будет увлекать за
собой брусок вследствие того, что между ними есть трение. Максимальная
сила, с которой кубик может действовать на брусок в направлении движения,
равна максимальной силе трения покоя pjV. Эта сила будет сообщать бруску
некоторое предельное ускорение аг, которое при заданных р и N
увеличиваться не может. Если при этом потянуть за кубик так, чтобы сам он
двигался с ускорением а\ > а-2, кубик начнет обгонять брусок, скользя по
его поверхности, пока не упадет с него.
1. Рассмотрим первый случай, когда тела находятся на грани
проскальзывания и движутся с одинаковым ускорением. На кубик действуют
сила тяжести, равная mg, сила тяги F, нормальная реакция 'опоры Ni и
максимальная сила трения покоя Етр. Поскольку кубик перемещается вправо с
ускорением а\, то, проецируя силы и ускорение на ось, направленную так
же, как ускорение кубика, основное уравнение динамики в проекциях можно
записать так:
F - Етр = таи
Или, учитывая, что Етр = \iNi и jVi = mg, будем иметь: F - \img = таи
(1)
F а,
F,
ТР
N,
N,
Mg'
61
t
К. бруску приложена сила тяжести, равная Mg, нормальная реакция опоры N2,
сила нормального давления jVi и сила трения FTp, действующая со стороны
кубика в направлении движения и сообщающая бруску ускорение а2. Основное
уравнение динамики для бруска дает:
Frp = Ma2 или ixmg = Ma2. (2)
Если кубик не скользит по бруску, то независимо от того, находятся ли
тела на грани скольжения или нет, их ускорения одинаковы и к составленным
уравнениям нужно добавить условие:
ал = а2. (3)
Уравнения (1) - (3) содержат три неизвестные величины: искомую силу тяги
F и ускорения а\ и а2. Решая уравнения относительно F, мы получим ответ
на первый вопрос задачи:
pm |
(4)
2. Если сила тяги окажется больше силы F, которую мы нашли, ускорение
кубика увеличится. Так как ускорение бруска при этом возрасти не может и
останется равным а2, кубик станет скоЛ*ьзить по бруску в направлении
движения бруска. За время /, в течение которого кубик находится на бруске
и увлекает его за собой, брусок приобретет скорость
v = a2t. (5)
За это же время кубик сместится относительно бруска на расстояние
(а, - а2) t2
2
а2)
(6).
ускорение кубика относи-
где L - длина бруска; (а\ тельно бруска.
Чтобы найти скорость бруска в момент падения кубика, нужно совместно
решить уравнения (1), (2), (4) - (6) относительно v, подставив в них
вместо F силу 2F, считая ее известной. Проведя вычисления, получим:
v
- т у-
* i
2|xgL
Рис. 2.7
(т + М) М
Пример 7. Тяжелое тело находится на вершине наклонной плоскости на грани
скольжения (рис. 2.7, а). За какое время тело спустится с наклонной
плоскости, если она станет двигаться в горизонтальном направлении с
ускорением а - 0,5 м/с2? Длина
62
наклонной плоскости I - 1 м, угол наклона ее к горизонту равен а - 30°.
Решение. В задаче рассматриваются два состояния тела: первое, когда оно
находится на грани скольжения, второе - в равноускоренном движении.
Условие о нахождении тела на грани скольжения имеет вспомогательное
значение. Оно позволяет определить коэффициент трения скольжения р. между
телом и плоскостью.
1. Для определения р (это самостоятельная задача) нужно составить
основное уравнение динамики с учетом того, что ускорение тела равно нулю.
На тело, находящееся на наклонной плоскости, действуют сила тяжести,
равная mg, реакция опоры N и сила трения FTp.
Выберем систему отсчета - Землю и'свяжем с ней прямоугольную систему
координат. Ось Ох направим вдоль наклонной плоскости вниз, ось Оу -
перпендикулярно наклонной плоскости вверх. Находим проекции сил на оси Ох
и Оу. Они равны соответственно:
mg sin а, -Frp, -mg cos а и N.
Под действием приложенных сил тело находится на наклонной плоскости в
равновесии на грани скольжения, следовательно, основное уравнение
динамики в проекциях на оси координат будет иметь вид:
mg sin а - Frp = О и N - mg cos а = 0, причем FTp = рN.
Решая уравнения совместно относительно коэффициента трения, находим:
