Задачи по физике и методы их решения - Балаш В.А.
Скачать (прямая ссылка):
и\ да 7,6 км/с и М2 да 6,6 км/с.
Эти результаты показывают, что запускать искусственные спутники Земли
легче в направлении с запада на восток, чем в противоположном.
Пример 11. Тяжелый шарик подвешен на нити длиной I. Нить равномерно
вращается в пространстве, образуя с вертикалью угол а (конический
маятник). Сколько оборотов делает шарик за время t? Решите задачу при
условии, что конический маятник установлен в ракете, поднимающейся
вертикально вверх с ускорением а.
Решение. 1. При вращении нити на шарик^действуют две силы: со стороны
Земли сила тяжести, равная mg, и со стороны нити сила натяжения Т. Под
действием приложенных сил шарик движется равномерно в горизонтальной
плоскости по окружности радиусом R с некоторой скоростью v (рис. 2.J0,
а). Это возможно лишь при условии, что равнодействующая F сил mg и Т
оказывается направленной перпендикулярно скорости к центру окружности О
и, следовательно, сообщает шарику нормальное ускорение:
F - та,,, где а" = v2/R.
Изобразив силы, действующие на шарик, составляем основное уравнение
динамики материальной точки в проекциях по нормали к окружности:
F=\mg + f\=nf. (1)
68
Рис. 2.10
Чтобы найти из этого соотношения какую-либо величину, в частности модуль
суммы mg -J- Т, нужно определить длину диагонали параллелограмма,
построенного на векторах Т и mg. Сделать это можно различными^ способами.
а) Сложить силы mg и Г по правилу параллелограмма и найти его диагональ,
зная, что равнодействующая этих сил направлена по радиусу. Как видно из
рисунка 2.10,а,
Itng + Т\ = mgtg а = Tsin а = / 7'2 - (mg)2 .
б) Разложить вектор mg_no направлению нити и радиуса вращения на
составляющие Fi и F2. Из рисунка 2.10,6 видно, что модули составляющих
равны F\ - mg/cos a, F2 = mg tg а. Поскольку нить нерастяжима и_вдоу1ь
нее ускорения нет, то согласно вто]рому_закону Ньютона Т + F\ - 0 и,
стало быть, mg -J- Т = ==: F2 -}~ F1 -}~ Т = F2.
Следовательно, составляющая силы тяжести F2 равна равнодействующей всех
сил, приложенных к шарику, т. е. она сообщает ему нормальное ускорение.
_
в) Для вычисления равнодействующей сил Т и mg можно использовать метод
проекций. Выберем для этого систему отсчета, например Землю, и связанную
с ней прямоугольную систему координат. Ось Ох направим по радиусу
вращения, ось Оу - вертикально вверх (рис. 2.10, в). Проекции сил по.
этим осям равны rsina, Tcos а и -mg.
Так как по вертикальному направлению скорость шарика не изменяется, то
основное уравнение динамики для проекций на ось Оу дает:
7cos a - mg = 0.
69
По оси Ох есть только одна проекция Tsina, которую можно рассматривать
как проекцию равнодействующей всех сил, приложенных к шарику.
Сравнивая все три результата, нетрудно заметить, что в данном примере
модуль равнодействующей силы равен:
F = |mg + Т\ - mgtg a = Tsin a = / T2 - (mg)2
и согласно (1) уравнение второго закона Ньютона в скалярной форме можно
представить в одном из трех видов:
ь.
о 2 /--;-------7- , 2
mgtg а = m--\ Tsina - m 2- и у Т2- {mg)2
Какое из этих уравнений нужно использовать в том или ином конкретном
случае, зависит от вопроса задачи и исходных данных.
Если не задана масса частицы, как, например, в нашем примере, уравнение
второго закона удобно записать в первой форме:
Составив уравнение динамики, записываем дополнительные условия:
Исключая из уравнений (2) - (4) v и R и решая их отно; сительно п,
получим-
2. Если конический маятник установлен в ракете, поднимающейся
вертикально вверх с ускорением а, число сил, действующих на шарик,
остается тем же. Однако сила натяжения действует на шарик не так, как в
первом случае; она не только (совместно с силой mg) обеспечивает движение
шарика по кругу,-но и сообщает ему ускорение о, равное ускорению ракеты.
Так как шарик участвует в двух ускоренных движениях (равномерном по
окружности и прямолинейном^ вверху, для нахождения связи между
действующими силами Т и mg и ускорениями нужно составить основное
уравнение динамики в проекциях на оси. прямоугольной системы координат
Оху, учитывая, что проекции ускорений на эти оси равны а и v2/R Для оси
Ох будем иметь:
mgig а - m , R
откуда
gR tga = v2.
(2)
v -
2л Rn
(3)
где п число оборотов шарика и R - /sin a.
(4)
Tsin a = m-^-,
(5)
70
для оси Оу:
Тcos а - mg = та.
(6)
Решая уравнения (3), (5) и (6) совместно относительно п, получим:
n=J- JS2EL.
2л г • Icos а
Анализируя ответ, можно заметить следующее: 1) в системе, поднимающейся
ускоренно вверх, явление протекает так, как если бы ускорение свободного
падения увеличилось на а\ 2) по мере увеличения числа оборотов маятника в
единицу времени (п/7) угол а увеличивается и становится равным 90° при
бесконечно большой скорости вращения. Из этого следует, что груз на нити
в горизонтальной плоскости вращаться не может.
Пример 12. Стержень, изогнутый так, как показано на рисунке 2.11,
вращается с постоянной угловой скоростью со относительно оси О'О". На
стержень надета бусинка, размеры которой очень малы. Определите, на~
