Задачи по физике и методы их решения - Балаш В.А.
Скачать (прямая ссылка):
по радиусу окружности.
65
Некоторые из предлагаемых задач требуют применения закона всемирного
тяготения. Обычно это задачи на движение небесных тел и искусственных
спутников Земли. Их решение рекомендуется тоже начинать с составления
уравнения второго закона Ньютона. Получив это уравнение, нужно
представить в развернутой виде входящую в него силу тяжести с помощью
закона всемирного тяготения, добавить при необходимости формулы
кинематики и затем решить полученную систему уравнений совместно. Очень
часто при этом приходится использовать формулу (2.1 И), позволяющую
исключить из уравнений массу Земли.
Пример 9. Автомобиль с двумя парами ведущих колес движется по мосту,
имеющему форму дуги окружности радиусом R = 40 м, обращенной своей
выпуклостью вверх. Какое максимальное ускорение в горизонтальном
направлении может развивать автомобиль на вершине моста, если скорость
его в этой точке равна v = 54 км/ч? Коэффициент трения колес автомобиля о
мост равен р = 0,6.
Решение. Делаем схематический чертеж (рис. 2.9) и указываем на нем
скорость автомобиля v и касательное ускорение а*. Автомобиль
взаимодействует с двумя телами: Землей и поверхностью моста. Со стороны
Земли на него действует сила тяжести, равная mg, со стороны моста -
нормальная реакция N и сила трения FTp.
Здесь прежде всего необходимо обратить внимание на направление силы
трения. При вращении колес покрышки ведущих колес отталкиваются от
поверхности дороги, действуя на нее в сторону, противоположную движению
машины. По третьему закону Ньютона поверхность действует на колеса в
направлении движения. Сцепление колес с поверхностью дороги осуществля;
ется за счет трения, поэтому при качении автомобиля движущей силой
является сила трения сцепления, направленная в сторону движения по
касательной к поверхности дороги.
Под действием приложенных сил изменяется и модуль, и направление вектора
скорости. Модуль скорости меняется за счет силы трения, сообщающей телу
касательное ускорение. Согласно второму закону динамики р __ та
По условию задачи ускорение ак максимально, поэтому колеса находятся на
грани пробуксовки и сила трения имеет наибольшее значение, равное Атр =
рМ. Поэтому
nN = maK. (1)
По нормали к траектории (вдоль радиуса окружности) действуют две ейлы:
mg я N. В сумме они не равны нулю и изменяют направление вектора
скорости. Рис. 2.9 При движении по выпуклому мосту вектор
66
скорости отклоняется от своего начального направления в сторону центра
окружности. Это возможно лишь при условии, что нормальная реакция
оказывается меньше силы тяжести. Последнее объясняется тем, сто мост из-
за своей кривизны как бы уходит из-под машины.
Равнодействующая сил mg и N является в данном примере силой, сообщающей
автомобилю ускорение, направленное к центру окружности. Модуль
равнодействующей равен разности gig - N, и согласно второму закону
Ньютона для проекций сил и ускорения на нормаль к траектории автомобиля в
верхней ее точке имеем:
2
mg - N - таи = т -. (2)
Решая уравнения (1) и (2) совместно относительно касательного ускорения,
получим:
(я - Ок " 1,9 м/с2.
Пример 10. Какую скорость относительно поверхности Земли должен иметь
искусственный спутник, чтобы лететь по круговой орбите; расположенной в
плоскости экватора, на высоте h = 1600 км над Землей? Радиус Земли
принять равным Rз = 6400 км, ускорение свободного падения у ее
поверхности go = 9,8 м/с2.
Р е ш е и и е. Если пренебречь силами притяжения, действующими на спутник
со стороны небесных тел, и не учитывать сопротивление среды, можно с
достаточной степенью точности считать, что на спутник при его движении
действует только
сила земного притяжения Ет.
Под действием этой силы спутник равномерно движется по окружности
радиусом R3 -f- h с некоторой скоростью v относительно центра Земли. Сила
притяжения FT сообщает спутнику нормальное ускорение ан, равное по модулю
v2/(R3 h) и направленное к центру Земли. Согласно второму закону Ньютона
Fr - тан, или
Fr = mv2/(R3 + К), (1)
где т - масса спутника. Модуль силы тяготения Ет в уравнении второго
закона Ньютона нужно представить в развернутом виде, используя закон
всемирного тяготения:
F _ q тМз (2)
(Лз+А)2 ' ( '
Если в решении задач подобного типа фигурирует масса
Земли М3, расчеты можно значительно упростить, исключив
произведение GM3 с помощью формулы
go = GfL. (3)
АЗ
67
Скорость спутника относительно поверхности Земли равна:
U=v + v0, (4)
где v0 - линейная скорость точек Земли на экваторе, которую
можно найти из соотношения
и0=^а, ~ (5)
Т
зная радиус Земли и период ее суточного вращения т = 24 ч.
Знак "плюс" или "минус" в уравнении (4) берется в зависимости от того,
запущен ли спутник с востока на запад или с запада на восток.
Уравнения (1) - (5) содержат шесть неизвестных величин: FT, т, М3, v, vo
и и.
Решая систему относительно скорости спутника, находим:
и=
^3 ~Г Л т
Подставляя числовые значения в выражение для скорости, получим:.
