Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
б) Используя результат п. «а» и то обстоятельство, что волновая функция триплетного основного состояния г|){ может быть выбрана действительной, когда потепциал V действителен, и что [ % I — симметричная функция, докажите соотношение Е8 ^ Е\.
3. Симметрия одноэлектронных орбитальных волновых функций в случае молекулы водорода
Докажите (используя практически такой же метод, как и в задаче 1), что если одно-электронный потенциал не меняется при зеркальном отражении в некоторой плоскости, то стационарные одноэлектронные волновые функции могут быть выбраны так, чтобы они либо оставались неизменными, либо меняли знак при отражении в этой плоскости. [Это подтверждает, что формула (32.11) дает в случае двухпротонного потопциала правильные линейные комбинации атомных орбпталей.]
4. Расщепление между си игле том и триплетом в приближении Гайтлера — Лондона
Получите гайтлер-лондоновскую оценку (32.16) для разности энергий синглетного и триплетного основного состояния молекулы водорода. Чтобы показать, что выражение (32.15) сводится к (32.16) для протонов, находящихся на больших расстояниях, важно утость следующие обстоятельства.
а) Одноэлектронные волновые функции фх и ф2, из которых построены состояния (32.13) и (32.14), являются точными одноэлектронными .волновыми функциями основного состояния атомов водорода, расположенных соответственно в точках и И2.
б) Критерий того, что протоны расположены достаточно далеко друг от друга, заключается в большой величине отношения расстояния между протонами к пространственной протяженности одноэлектронной волновой функции атома водорода.
в) Электростатическое поле вне сферически-симметричного распределения заряда в точности равно тому полю, которое создавал бы этот заряд, если его сконцентрировать
Взаимодействие электронов и магнитная структура
305
в одну точку и поместить в центр сферы. Удобно также включить в гамильтониан энергию взаимодействия двух протонов, е2/\ В.! — В.2 | (остающуюся неизменной).
5. Модель Хаббарда для молекулы водорода
В модели Хаббарда атом, находящийся в точке II, заменяется единственным электронным уровнем | И). Если уровень пуст (на атоме нет электрона), то энергия равна нулю; если на уровне находится один электрон (с произвольным направлением спина), то энергия равна %, и, наконец, если на уровне имеются два электрона (обязательно с противоположно направленными спинами), то энергия равна 2% + ?/; добавочная положительная энергия и описывает внутриатомное кулоновское отталкивание двух локализованных электронов. (В силу принципа Паули на одном уровне не может находиться более двух электронов.)
В модели Хаббарда двухатомная молекула заменяется двумя такими уровнями | И) и | И' >, соответствующими электронам, локализованным вблизи точек II и II'. Для простоты будем считать эти два уровня ортогональными:
(й I К'> = 0. (32.29)
Вначале рассмотрим задачу о двух «протонах» и одном электроне (ион Н?). Если бы одноэлектронный гамильтониан Ь, был да агонален по | К) и | К'), то стационарные уровни описывали бы атом водорода и протон. Однако мы знаем, что если протоны находятся не слишком далеко друг от друга, то существует некоторая вероятность туннелирования электрона с одного протона на другой, в результате чего образуется ионизованная молекула водорода. Мы опишем вероятность туннелирования с помощью недиагопального члена в одно-электронном гамильтониане
<К|а| к'> = <к' | А I Ю=-«; (32.30)
фазы у | К) и | II') можно выбрать так, чтобы число і было действительным и положительным. С помощью (32.30) и диагональных членов
<к I л I К> = <К' I л I к'> = » (32.31)
одноэлектронная задача определяется полностью.
а) Покажите, что одноэлектронные стационарные уровни имеют вид
—1=- (| К> + | К'», (32.32)
а соответствующие собственные значения равны
% ± і. (32.33)
В качестве первоначального подхода к двухэлектронной задаче (молекула водорода) опишем синглетное (пространственно-симметричное) основное состояние в рамках приближения независимых электронов, поместив оба электрона на одноэлектронный уровень с минимальной энергией, и получим полную энергию, равную 2 (% — і). При этом совершенно не учитывается энергия и, отвечающая взаимодействию двух электронов, связанных с одним протоном. Самый грубый способ исправления оценки 2 (% — і) заключается в том, чтобы добавить к этой величине энергию и, умноженную на вероятность найти два электрона, связанных с одним протоном, в случае когда молекула находится в основном состоянии, отвечающем приближению независимых электронов.
б) Покажите, что эта вероятность равна Ч2, поэтому исправленная оценка для энергии основного состояния в приближении независимых электронов (іе) такова:
Е1е=2(%-г) + ±- и. (32.34)
Это отвечает просто результату применения приближения Хартри (приближения самосогласованного поля) к модели Хаббарда. См. гл. 11 и 17.
Имеется следующий полный набор синглетных (пространственно-симметричных) состояний для двухэлектронной задачи:
ФЬ = уГ(1»>1»'>+1»'>1»»." (32.35)
Ф1== | К) | К>, Ф2=|11'>|11'>.
