Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Если рассматривать спины, входящие в гамильтониан (33.4), как классические векторы, то следует ожидать, что в состоянии с наинизшей энергией все спины должны быть ориентированы вдоль оси z, параллельно магнитному полю и друг другу. Это позволяет предложить в качестве кандидата в квантово-механическое основное состояние |0) собственное состояние оператора Sz(R) (для каждого R), отвечающее его максимальному собственному значению S, т. е.
|0> = ri|S>R, (33.5)
R
где
S2(R)I^)r = ^I^>r- (33.6)
Чтобы убедиться^ что | 0) — действительно собственное состояние гамильтониана Si (33.4), запишем последний через операторы
_ S±(R) = S«(R)±iSy(R)' (33.7)
*) Можно ввести ряд других критических показателей и измерить их на эксперименте. Имеются отличные обзоры Фишера [9], Хеллера [3], Каданова и др. [10], в которых рассматриваются критические точки магнитных и других переходов. Теория явлений вблизи критической точки, позволяющая провести численный расчет критических показателей, была развита Вильсоном. Она основана на методах ренормализ,ационной группы; элементарный обзор этого круга вопросов имеется в статье Ma [11]. См. также работу Фишера [12].
2) Очень часто операторы в гамильтониане Гейзенберга называют спиновыми операторами, хотя они отвечают полному моменту иона, имеющему как спиновую, так и орбитальную часть. Также обычно принято считать, что эти фиктивные спины параллельны магнитному моменту иона, а не его полному угловому моменту, т. е. перед членом с Я в (33.4) стоит знак минус (если величина gp,B положительна), когда поле H направлено вдоль оси z.
Магнитное упорядочение 317
которые обладают свойством *)
S± (R)|52>r = V(S^Sz)(S + 1± Sz) ]Sz ± 1>r. (33.8)
Отделяя члены с S: от членов, содержащих S+ и S-, можно записать
М=-\ 2 /(R-R')S,(R)S,(R')-^b# 2 S2(R)-
r, r' r
~4 S /(R-R')S.(R')S+(R). (33.9)
r, r'
Поскольку S+(R) I Sz)r = 0 при Sz = S, только члены с S2 скажутся на результате действия SB на | 0). Но состояние | 0) построено таким образом, что оно является собственным состоянием каждого оператора S2 (R) с собственным значением S; следовательно,
ДО) = .Е0|0>, (33.10)
где
?0 = —2 J(R-R')-Ng\iBHS. (33.11)
r, r'
Таким образом, | 0) действительно является собственным состоянием гамильтониана SB. Для доказательства того, что Е0 представляет собой энергию основного состояния, рассмотрим любое другое собственное состояние гамильтониана SB, скажем | 0'}, с собственным значением Е'а. Так как
?; = <0'|сЖ|0'), (33.12)
отсюда следует, что при всех положительных / (R — R') существует нижняя граница значений Е'0:
-у 2 /(R-R')max<S(R)-S(R'))-^2 ™ах <S2 (R)>, (33-13)
r, r' r
где max (X) — наибольший диагональный матричный элемент, которым может обладать оператор X (в любом состоянии). В задаче 1 показано, что 2)
(S(R)-S(R')><S2, R^=R\
ts.m><s. <ззш
Подставляя эти неравенства в выражение (33.13) для Е'й и сравнивая получившееся неравенство с формулой (33.11) для Ей, находим, что Е'0 не может быть меньше Е0 и, следовательно, энергия основного состояния должна быть равна Е0.
СВОЙСТВА ПРИ НУЛЕВОЙ ТЕМПЕРАТУРЕ. ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ ГЕЙЗЕНБЕРГОВСКОГО АНТИФЕРРОМАГНЕТИКА
Задача об основном состоянии гейзенберговского антиферромагнетика до сих пор не решена; исключение составляет частный случай одномерной цепочки ионов со спином V2 и с взаимодействием только' между ближайшими сосе-
х) См., например, книгу [13].
2) Эти результаты могут показаться «очевидными» с точки зрения классической интуиции, однако следует иметь в виду, что величина min ({S (R)-S (R')) равна не —S2, а — S (S + 1) (задача 1). Кроме того, конечно, при R = R' величина max(S(R)S (R')> равна не S2, а S (S + 1).
318
Глава 33
дями [14]. Трудность этой задачи можно проиллюстрировать на примере случая, когда спины занимают две подрешетки и каждый спин взаимодействует только со спинами другой подрешетки. В отсутствие внешнего поля гамильтониан имеет вид
^={^ |/(К-К')|8(К)-8(К')- (33.15)
К, В.'
Простейшее предположение о структуре основного состояния заключается в том, что каждая подрешетка находится в ферромагнитном основном состоянии (33.5), а направления намагниченности подрешеток противоположны. Если бы спины были классическими векторами, это состояние оказалось бы наиболее выгодным при антиферромагнитном взаимодействии, а энергия основного состояния была бы равна
Е°=-т 2 К(к-к')|?2- (зз.1б)
к, К'
Однако в отличие от ферромагнитного случая, описываемого гамильтонианом (33.9), члены 5-(К)5+ (В-')> действуя на такое состояние, не всегда дают нуль, а приводят к состоянию, где в подрешетке со спином вверх значение г-компо-ненты спина уменьшается на единицу, тогда как в подрешетке со спином вниз это значение соответственно увеличивается. Таким образом, построенное нами состояние не является собственным.
Единственное заключение, к которому легко прийти, состоит В ТОМ, ЧТО (33.16) представляет собой верхнюю границу истинной энергии основного состояния (задача 2). Можно найти также и нижнюю границу (задача 2). В результате получаем неравенство
