Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
ВОСПРИИМЧИВОСТЬ МЕТАЛЛОВ. ПАРАМАГНЕТИЗМ ПАУЛИ
До сих пор мы совсем не касались вопроса о вкладе электронов проводимости в магнитный момент металла. Электроны проводимости в отличие от электронов частично заполненных оболочек ионов не являются пространственно-локализованными; вместе с тем из-за жестких ограничений, налагаемых принципом Паули, нельзя также считать, что они, как и электроны, локализованные на различных ионах, взаимодействуют с полем независимо друг от друга.
Однако задача об определении магнитных свойств электронов проводимости может быть решена в рамках приближения независимых электронов. Решение оказывается довольно громоздким из-за сложного характера влияния магнитного поля на орбитальное движение электронов. Если не учитывать это влияние (т. е. считать, что электрон обладает спиновым магнитным моментом, но не имеет заряда), то можно действовать следующим образом.
Каждый электрон вносит в намагниченность вклад, равный —р П1У (считая g0 = 2), если его спин параллелен полю Н, и равный и.в/Т/, если его спин антипараллелен полю. Следовательно, если п+—отнесенное к единице объема число электронов со спином, параллельным (+) или антипараллельным (—) полю Н, то намагниченность будет равна
М = и.в (п+ — га_). (31.55)
Если электроны взаимодействуют с полем только благодаря имеющемуся у них магнитному моменту, то единственным результатом действия магнитного поля будет изменение энергии каждого электронного уровня на величину ± р ВН в зависимости от того, параллелен (+) или антипараллелен (—) спин полю. Мы можем описать это, вводя плотность уровней, отвечающих данному значению спина. Пусть g± (Ш) а% — отнесенное к единице объема число электронов *) с определенным значением спина и с энергией в интервале от ё до Ш + + <1Ш. В отсутствие поля мы имели бы
Я± = Я ($) (Я = 0), (31.56)
х) Чтобы не путать плотность уровней с ^-фактором, мы всегда будем указывать аргумент %, от которого зависит плотность уровней. Индекс В служит для того, чтобы отличать магнетон Бора рв от химического потенциала р,.
278
Глава 31
где ? (I) — обычная плотность уровней. Поскольку энергия каждого электронного уровня, отвечающего спину, параллельному полю, сдвигается на \хвН вверх относительно ее значения при нулевом поле, число уровней с энергией Ш при ненулевом поле Н совпадает с числом уровней, имеющих энергию Ш 4-+ р. ВН при Н = 0:
8+{Ш) = \§{Ш + РвН)- (31.57)
Аналогично
Е-{Ъ) = тВ$-РвН). (31.58)
Число электронов в единице объема, имеющих данное значение спина, определяется как
n±=\dШg±(Ш)f(t), (31.59)
где / — функция распределения Ферми:
Чтобы найти химический потенциал ц, вспомним, что полная концентрация электронов есть
п = п+ + п.. (31.61)
Исключая ц с помощью этого соотношения, мы можем использовать выражения (31.59) и (31.55) для нахождения намагниченности как функции концентрации электронов п. В невырожденном случае (/ « е-Р(^-и)) это приводит к рассмотренной нами ранее теории парамагнетизма, и намагниченность будет описываться выражением, совпадающим с (31.44) при / — 1/2. (См. задачу 8.)
Однако в металлах мы имеем дело со случаем сильного вырождения. Плотность уровней g (Ш) существенным образом меняется только в масштабе а поскольку ц.ВН имеет порядок даже в поле 104Гс, мы можем, не допу-
ская при этом практически никакой ошибки, использовать разложение плотности уровней
ё± («) = \ 8 ± Ив#) = \ё(()±^РвНё' {Ъ). (31.62)
Подставляя (31.62) в (31.59), получаем
п± = \ \ 8 (Щ / {Щ 6,4, ± ± ц.вЯ ^ &%4 (Ш) / {%); (31.63)
при этом из (31.61) следует
п = | g{Ш)f (Ш) й%. (31.64)
Но это выражение в точности совпадает с формулой для концентрации электронов в отсутствие поля, поэтому можно считать, что химический потенциал \а имеет такое же значение [см. (2.77)], как и в нулевом поле:
\> = *г[* + 0 (31-65)
Из (31.55) и (31.63) получаем выражение для намагниченности:
М = уЬН | ё'(Ъ)ЦШ)йШ, (31.66)
или, интегрируя по частям,
М = ^вн\е$){-^)йШ. (31.67)
Диамагнетизм и парамагнетизм
279
Таблица 31.5
Сравнение вычисленной восприимчивости газа свободных электронов с измеренной восприимчивостью Паули
Металл 106-Хр [расчет по Формуле (31.71)] (эксперимент) Литература
и 3,25 0,80 2,0 [6]
N8 3,93 0,66 1,1 [7]
К 4,86 0,53 0,85 [9]
В.Ь 5,20 0,50 0,8 [9]
Се 5,62 0,46 0,8 [9]
При нулевой температуре —д}/дШ = б (Ш — Шр) и
Л/ = ц.в##(1у). (31.68)
Поскольку (см. гл. 2) температурные поправки к —д//дё имеют порядок
(кВТ'/?р)2, формула (31.68) остается справедливой вплоть до очень высоких температур (Т « 104 К).
Из (31.68) получаем восприимчивость
Х= Рв?(?у).
(31.69)
Она называется парамагнитной восприимчивостью Паули. В противоположность восприимчивости парамагнитных ионов, определяемой законом Кюри, восприимчивость Паули электронов проводимости практически не зависит от температуры. В случае свободных электронов плотность уровней имеет вид ё — ткр/Н2л2, и восприимчивость Паули %р описывается простой формулой
Хр=(-^)>(воМ, (31 -70)
где а = е21Ис = 1/137. Можно также представить %Р в другой форме:
