Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому существуют полупроводники, в которых диамагнетизм Ландау подавляюще велик по сравнению со спиновым парамагнетизмом Паули. Вычитая из измеренной восприимчивости величину, отвечающую чистому материалу, находят непосредственно вклад, связанный с диамагнетизмом Ландау 4).
Этим мы заканчиваем обзор тех магнитных свойств твердых тел, которые можно понять, не учитывая явным образом взаимодействие между источниками магнитного момента. В гл. 32 мы обратимся к теории, лежащей в основе рассмотрения этих взаимодействий, а в гл. 33 продолжим изучение магнитных свойств твердых тел, но уже таких, которые в значительной мере обусловлены взаимодействием магнитных моментов.
х) Изменение диамагнитной восприимчивости, связанное с тем, что донорные примеси имеют другую структуру заполненных оболочек, вносит очень малую поправку.
2) Как можно показать, эти соображения остаются справедливыми даже в том случае, (когда электроны в зоне проводимости не вырождены.
3) Отношение т*/т обычно равно или меньше 0,1. *) См. обзор [13].
ДИАМАГНЕТИЗМ ЭЛЕКТРОНОВ В ЛЕГИРОВАННЫХ ПОЛУПРОВОДНИКАХ
(31.73)
Диамагнетизм и парамагнетизм
283
ЗАДАЧИ
1. Согласно классическому определению Ампера, магнитный момент т частицы с зарядом — е, обусловленный ее орбитальным движением, есть среднее по орбите от величины
-у(гху). (31.74)
Покажите, что наше определение т = —дЕ/дН сводится к (31.74), если, исходя из соотношения (31.15), доказать равенства
т=-2^2г'х("-27г'-хН) (31-75)
в
2. Спиновые матрицы Паули удовлетворяют следующему простому равенству:
(а.а) (Ъ.а) = а-Ъ + г (а X Ь)-а, (31.77)
если'все компоненты матриц а и Ь коммутируют с компонентами матрицы а. Если компоненты матрицы а коммутируют между собой, то а X а = 0. Поскольку компоненты импульса р коммутируют, мы могли бы в отсутствие магнитного поля с тем же успехом записать кинетическую энергию частицы со спином 1/2 в виде (о*-р)2/2т. Однако если поле отлично от нуля, то компоненты вектора р + еА/с уже пе коммутируют между собой. Исходя из этого, покажите, что из (31.77) вытекает равенство
которое дает возможность представить и спиновый, и орбитальный вклад в магнитную часть гамильтониана в виде одной компактной формулы (если считать, что ё0 — 2).
3. а) Покажите, что правила Хунда для оболочки с орбитальным моментом I, содержащей п электронов, сводятся к следующим формулам:
5 = -1[(2/+1)-|2г+1-П|],
Ь = 8\21 + \-п\, (31.79)
1=\21—п\8.
б) Убедитесь, что два способа вычисления степени вырождения данного .М-мульти-шгета*приводят к одному и тому же результату, т. е. покажите, что
(2? + 1)(25+1)= ^ ^+!)- (31.80)
в) Покажите, что суммарное расщепление .М-мультиплета, обусловленное спин-орбитальным взаимодействием Я (1_-8), равно,
^тах-^т1п=^^+1)' Ь>8> (31-81)
= ^(25 + 1), 8>Е. Покажите также, что расстояние между соседними /-мультиплетами в Л^-ыультиплете равно
Е1+1-Е1 = Х(1+1). (31.82)
4. а) Коммутационные соотношения для углового момента сводятся к следующим равенствам, связывающим векторные операторы:
I. X 1. = И, 8 X в = гБ. (31.83)
284
Глава 31
Используя эти равенства и учитывая тот факт, что все компоненты оператора 1_ коммутируют со всеми компонентами оператора &, получите формулу
[1- + *в8, п.и] = ;пХ(1.+?08), (31.84)
где п — любой (с-числовой) единичный вектор.
б) Для состояния | 0) с полным угловым моментом, равным нулю, выполняется равенство
их|0) = иу|0>= и2 | 0 > = 0. (31.85)
Покажите, что из (31.84) следует равенство
<0 | (I. + *„8) | 0> = 0, (31.86)
даже несмотря на то, что 1_2 и Э2 не обязательно равны нулю в состоянии | 0 > и что величина (1. + ?0$5) | 0 > не должна быть равна нулю.
в) Докажите теорему Вигнера — Эккарта [см. (31.34)] в частном случае / = 1/2, используя коммутационные соотношения (31.84).
5. Предположим, что в подпространстве (2Ь-\-1) (23-{-1) наиболее низколежащих состояний кристаллическое поле может быть описано формулой аС| + Ы.^ + с|_| с неравными между собой а, 6 и с. Покажите, что если в частном случае Ь — 1 кристаллическое поле является определяющим возмущением (по сравнению со сппн-орбнтальным взаимодействием), то получившееся основное состояние будет (2? -(- 1)-кратно вырожденным, причем матричные элементы каждой из компонент оператора 1_, вычисленные с функциями основного состояния, равны нулю.
6. Электроны проводимости вносят в восприимчивость нормального металла вклад %с, е, а вклад, связанный с диамагнетизмом заполненных оболочек ионных остатков, равен Х1оп-Пусть восприимчивость электронов проводимости определяется формулами для восприим-чивостей Паули и Ландау газа свободных электронов; покажите, что в этом случае
^=-4-|?-«^)2>- (31.87)
где 2ъ — валентность, Ъс — число электронов ионного остатка, а <г2) — средний квадрат радиуса иона, определяемый формулой (31.26),
7. Рассмотрите ион с частично заполненной оболочкой, имеющей момент /, и с Ъ электронами на заполненных оболочках. Покажите, что отношение парамагнитной восприимчивости, определяемой законом Кюри, и ларморовской диамагнитной восприимчивости равно
