Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
3. Второе правило Хунда. Суммарный орбитальный момент Ь наинизших состояний имеет максимальное значение, допускаемое первым правилом Хунда и принципом Паули. Чтобы определить это значение, заметим, что оно совпадает с максимальной величиной Ьг. Поэтому первый электрон в оболочке занимает уровень с максимальным значением | 1г |, равным I. Следующий за ним электрон должен, согласно правилу 2, иметь такой же спин, как и первый, поэтому в силу принципа Паули он не может обладать тем же значением 1г. Наибольшее значение орбитального момента, которое он может иметь, есть | 1г | = I — 1; при этом суммарный орбитальный момент Ь равен I + (I — 1) = = 21 — 1. Если оболочка заполнена меньше чем наполовину, то, проводя аналогичные рассуждения, получаем, что Ь — I -\- (I — 1) + ... + [I — — (п — 1)]. Когда оболочка заполнена в точности наполовину, должны быть использованы все значения 12, и, следовательно, Ь = 0. Вторая половина оболочки заполняется электронами с противоположно направленными спинами и поэтому в соответствии с принципом Паули Ь может пройти ту же последовательность значений, что и при заполнении первой половины.
4. Третье правило Хунда. Первые два правила определяют значения Ь и 5 в состоянии с наинизшей энергией. Всего получается (2Ь+1) (25 +1) возможных состояний. Можно провести их дальнейшую классификацию в соответствии с полным моментом /, который, согласно основным правилам сложения моментов, может принимать все целые значения, лежащие между | Ь — 5 | и Ь + 5. Вырождение совокупности (2Ь + 1) (25 + 1) состояний снимается благодаря спин-орбитальному взаимодействию, которое в пределах этой совокупности может быть описано членом в гамильтониане, имеющим простой вид: Я,(|_-8)- За счет спин-орбитального взаимодействия при Х<С0 становится выгодным состояние с максимальным значением / (орбитальный момент параллелен спиновому), а при X > 0 — состояние с минимальным значением / (орбитальный момент антипараллелен спиновому). Оказывается, что параметр X положителен для оболочек, заполненных менее чем наполовину, и отрицателен для оболочек, заполненных более чем наполовину. В результате состояния с наименьшей энергией характеризуются следующими значениями /:
/ = | Ь - 5 |,
п < (2/ + 1)
(31.29)
/ = Ь + 5,
п > (27 + 1).
В магнитных задачах обычно имеют дело только с совокупностью (2Ь + 1) (25 + 1) состояний, определяемых двумя первыми правилами Хунда;
Диамагнетизм и парамагнетизм 267
Таблица 31.2
Основные состояния ионов с частично заполненными й-и /-оболочками, найденные по правилам Хунда а)
й-оболочка (I = 2) Обозна-
п 1,-2 1 0 -1 -2 чение
1 х/2 2 3/21 2Дз/2
2 1 3 -«1 3^2
3 4 1 /2 3 '/^ 3/2
4 4 4 4 2 2 0 5Д„
5 4 4 4 4 /2 0 6/2
6 И 1 1 1 2 2 4 .
7 8 41 И 41 И т И 1 1 /2 1 3 3 •/,1 4
9 И И И •И 1 V, 2 ¦/^ 5/2
10 41 и И И 41 0 0 0
/-оболочка (1 = 3) ь-12',| Обозна-
п 1г~3 2 1 0 -1 -2 -3 J чении
1 2 4 1/2 1 3 5 6 / 4
3 4 4 4 4 3/ /2 2 6 6 4 /= |? 4/^/2
5 4 4 4 /2 5 V,
6 4 4 3 3 0 ^ г 0
7 4 1 4 4 4 4 '/2 0 7/2
8 41 т i 1 1 1 1 3 3 6 >
9 41 И 1 1 1 1 /2 5 15/2 15/ 2
10 И И и 1 1 1 1 2 6 8 ¦"8
11 И и и И 1 1 1 з; /2 6 16/У
12 И и и 41 I 1 1 5 6
13 И и И 41 41 1 Х/2 3 7/2
14 и и и И 41 41 41 0 0 0
а) \ = спин 1/2; * •= спин -1/2.
энергии других состояний столь велики, что они не представляют интереса. Более того, часто достаточно рассмотреть только 2/4-1 низших состояния, определяемых третьим правилом.
Эти правила, как оказывается, легче применять, чем это можно было бы предположить, исходя из их описания; действительно, при нахождении наиниз-
268
Глава 31
шего У-мультиплета (называемого термом) для ионов в твердом теле приходится, по сути дела, сталкиваться только с 22 случаями, представляющими интерес: от 1 до 9 электронов могут находиться на ^-оболочке (2 = 2) и от 1 до 13— на /-оболочке (/ = 3) 1). По исторически сложившейся, но неудачной традиции основной мультиплет в этих случаях не описывается просто тройкой чисел 5, Ь, 1. Вместо этого орбитальный момент Ь обозначается буквой согласно освященному временем спектроскопическому коду:
/, = 01 234 5 6, (31.30)
X = 5 Р В ^ <? Н I.
Значение спина задается с помощью числа 25 + 1 (называемого мультиплет-ностью), которое записывается перед буквой как верхний индекс, и только для / пишется непосредственно его значение в виде нижнего индекса справа. Итак, наинизший /-мультиплет обозначается символом <г8+1) Х1.
Случаи, представляющие наибольший интерес при изучении магнитных свойств твердых тел, приведены в табл. 31.2.
ВОСПРИИМЧИВОСТЬ ДИЭЛЕКТРИКОВ, СОДЕРЖАЩИХ ИОНЫ С ЧАСТИЧНО ЗАПОЛНЕННОЙ ОБОЛОЧКОЙ.
ПАРАМАГНЕТИЗМ
Следует различать два случая.
1. Если оболочка характеризуется значением / = 0 (как это имеет место для оболочек, которые содержат на один электрон меньше, чем наполовину заполненные), то основное состояние не вырождено (как и в случае заполненной оболочки) и линейный член в формуле (31.20), описывающей смещение энергетических уровней, обращается в нуль 2). Однако (в противоположность случаю заполненной оболочки) второй член в (31.20) не должен обращаться в нуль, и изменение энергии основного состояния под действием поля дается выражением
