Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
(31.20)
& g0 — электронный g-фaкmop
ё0 = 2 [1+-^- + О (а*) +...]-2,0023, а^-!^»-*-., (31.14)
который, если учесть ту точность, с которой измеряется большинство представляющих интерес характеристик твердого тела, можно считать просто равным 2-В результате преобразования (31.9) оператор полной кинетической энергии электронов принимает вид
Г = "Ж-2 [Р«+ -ГА<ЧГ = -ЙГЗ (р,--^г|Хн)а. (31.15)
1 г
Формулу (31.15) можно представить в виде
Т = Т0 + рв1.П + -?ггН*%(х\ + у\), (31.16)
где 1_ — суммарный орбитальный момент электронов *)
Й1- = 2г4хр{. (31.17)
Объединяя (31.12) и (31.16), получаем, что зависимость от поля определяется следующими членами в гамильтониане:
^(m = [lB(L+goS)¦я + ~н^(x\+у\). (31.18)
Как мы увидим ниже, изменение энергии (31.18) даже при максимальных полях, получаемых в настоящее время в лабораториях, оказывается обычно малым по сравнению с энергиями атомных возбуждений. Поэтому сдвиг энергетических уровней в поле можно рассчитывать с помощью обычной теории возмущений. Для вычисления восприимчивости, т. е. второй производной по полю, необходимо учесть члены вплоть до второго порядка по Н; следовательно, нужно воспользоваться широко известной формулой теории возмущений, включающей члены второго порядка г):
Еп^Еп + ЬЕп; ЬЕп = {п\Ш\п)+ 2 '(" д»-'^'' • (31-19)
П'фП
Подставляя (31.18) в (31.19) и учитывая только линейные и квадратичные по Н члены, находим, что с точностью до членов второго порядка х)
АДЯ = |*ДН.<1»|1. + *.8И+ 2 1^1^+^)'"ЖГ
П'фП
Диамагнетизм и парамагнетизм
263
Выражение (31.20) лежит в основе теоретического описания восприимчивости отдельных атомов, ионов и молекул. На нем базируется также теория восприимчивости ионных и молекулярных кристаллов, т. е. тех твердых тел, которые могут быть представлены как совокупность слабо деформированных свободных ионов. В этих случаях восприимчивость вычисляется посредством суммирования вкладов отдельных ионов.
Прежде чем применять формулу (31.20) для расчета конкретных случаев, отметим, что член, линейный по Н, почти всегда будет основным, даже при очень сильных полях (~104 Гс), если, конечно, он не обращается тождественно в нуль (как это иногда случается). Если он не обращается в нуль, то матричный элемент {п | L* + goSz I п) будет порядка единицы, так что
M-?H-<ra|(L4-^oS) \ п) — 0 (\iBH)~ ~ /шс, (31.21)
При Н порядка 10* Гс эта энергия имеет величину порядка 10~4 эВ (таким образом подтверждается сделанное ранее предположение о том, что сдвиги энергетических уровней малы). Чтобы оценить величину последнего члена в KSBi отметим, что {п | (х\ + у\) | п) имеет порядок квадрата типичного атомного размера, поэтому
^ т (п [ 2 <*! + Л) | п > = О [ (-? )2 mal] « П.с (fa) . (31.22)
Поскольку е2/а0 « 27 эВ, член (31.22) меньше линейного члена (31.21) примерно в 105 раз даже в сильных полях, достигающих 104 Гс. Можно показать, что второй член в (31.20) также меньше первого (их отношение — величина порядка hat JA, где А = min | Еп — Еп> \ — типичная энергия атомного возбуждения). В большинстве случаев значение А достаточно велико, чтобы отношение hajA можно было считать весьма малым.
ВОСПРИИМЧИВОСТЬ ДИЭЛЕКТРИКОВ С ПОЛНОСТЬЮ ЗАПОЛНЕННЫМИ АТОМНЫМИ ОБОЛОЧКАМИ. ЛАРМОРОВСКИЙ ДИАМАГНЕТИЗМ
Проще всего применить полученные выше результаты к твердым телам, состоящим из ионов *) с полностью заполненными электронными оболочками. У такого иона в основном состоянии (0) спин и орбитальный момент равны нулю 2):
Л0> = Ц0> = 810> = 0. (31.23)
Следовательно, изменение энергии основного состояния под действием поля возникает только за счет третьего члена в (31.20) 3)
А^=етяЧ°[2^+^|°>=12^Я2<0|2гф>. (31-24)
*) Как и в предыдущих главах, мы будем продолжать использовать термин «ион» для обозначения как ионов, так и атомов. Атом — это ион с нулевым зарядом.
2) Такой результат связан с тем, что волновая функция основного состояния иона с заполненными оболочками сферически-симметрична. Указанное свойство является также одним из наиболее очевидных следствий правил Хунда' (см. ниже).
3) Последнее равенство в (31.24) обусловлено сферической симметрией иона с заполненными оболочками:
<о|2х!|о> = (0|2^|0) = (0|1]2||о>=4-(0|2г||о>.
264
Глава 31
Таблица); 31.1
Молярные восприимчивости атомов инертных газов и ионов в гделочно-галоидных соединенияха)
Элемент Восприимчивость Элемент Восприимчивость Элемент Восприимчивость
Не —1,9 Li+ -0,7
F- -9,4 Ne -7,2 Na+ —6,1
С1- —24,2 Ar —19,4 К+ —14,6
Вг- —34,5 Кг -28 Rb+ —22,0
I- -50,6 Хе -43 Cs+ -35,1
)В единицах 10-в смз/моль. Ионы каждого горизонтального ряда имеют одну и ту же электронную конфигурацию.
Данные взяты из книги [2].
Если при термодинамическом равновесии вероятность обнаружить ион в каком-либо состоянии, отличном от основного, пренебрежимо мала (это условие выполняется практически при всех не очень высоких температурах), то восприимчивость твердого тела, состоящего из N таких ионов, определяется выражением
x==_4-^-^L^<0|V,r?|0). (31.25)
Это — ларморовская диамагнитная восприимчивость *). Термином диамагнетизм пользуются в тех случаях, когда восприимчивость отрицательна, т. е. наведенный магнитный момент направлен против поля.
