Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Неоднородные полупроводники
215
На фиг. 29.2, а электрохимический потенциал представлен в зависимости от координаты вдоль р— /г-перехода. Мы предположили (ниже это будет показано), что ф изменяется монотонно по мере перехода от одного конца к другому. На фиг. 29.2, б та же информация представлена другим способом. Здесь принято, что потенциал ф, определяющий координатную зависимость в выражении (29.3), изменяет величину Шс (или Ш„), а не р. В любом случае смысл этих диаграмм заключается в том, что в каждой конкретной точке х вдоль перехода концентрация носителей имеет такую же величину, как и в куске однородного материала с концентрацией примесей, равной тому значению, которое она имеет в точке х, и с химическим потенциалом, положение которого по отношению к краям зоны можно определить, рассматривая вертикальное сечение диаграммы в точке х.
Соотношение (29.6) [или его эквивалентная форма (29.9)] представляет собой граничное условие для дифференциального уравнения, определяющего потенциал ф (х). Это дифференциальное уравнение есть просто уравнение Пуассона г)
которое связывает потенциал ф (х) с создающим его рас ределением заряда р (х). Чтобы выразить р (х) через ф и получить замкнутое уравнение, отметим вначале, что если (согласно нашему предположению) примеси полностью ионизованы вдали от перехода, то они полностью ионизованы и при всех х 2). Следовательно, плотность заряда, обусловленная примесями и носителями, равна 3)
•р (х) = е Ша (х) - ДГ0 {х) - пе (х) + рв (я)]. (29.11)
Подставляя выражения (29.3) и (29.1) для концентраций носителей и примесей в формулу (29.11) для плотности заряда, а затем результат в уравнение Пуассона, получаем нелинейное дифференциальное уравнение для ф (х), для точного решения которого обычно приходится применять численные методы 4). Однако можно получить вполне разумное описание потенциала ф (х), используя тот факт, что полное изменение еф имеет порядок Е8 Э> квТ. Значение этого факта легко понять, если объединить формулы (29.3) и (29.4), записав
пс{х) = Нйе-^-^1квт,
рЛ*) = ^ав_1Ф<1)-*<"")1/*вТ. (29Л2)
Предположим, что изменение ф происходит внутри области —йр ^ х йп. Вне этой области ф достигает своего асимптотического значения, и, следова-
*) Здесь 8 — статическая диэлектрическая проницаемость полупроводника. Использование макроскопического уравнения возможно потому, что ф меняется на расстоянии порядка ширины обедненного слоя, которая велика по сравнению с межатомным расстоянием.
2) Если потенциал ф (как показано ниже) изменяется монотонно, то это утверждение вытекает из того факта, что степень ионизации примеси увеличивается при удалении химического потенциала от примесного уровня. См. фиг. 29.2 и формулы (28.32) и (28.34).
8) Концентрация дырок на больших расстояниях от перехода в п-области имеет, согласно закону действующих масс, очень малое значение р„ (со) = тнШл. Однако, концентрация электронов превышает там Nd на ту же малую величину, так что выполняется равенство пс (со) — рв (со) = N0-. Если при вычислении полной плотности заряда пренебречь [как мы сделали в (29.4)] этой малой поправкой к пс, то мы должны также пренебречь малой компенсирующей плотностью дырок на далеких расстояниях в п-области кристалла. Аналогичные замечания справедливы и для малых концентраций электронов в р-областиДЭти концентрации неосновных носителей вносят пренебрежимо малый вклад в общий баланс зарядов. Однако, как мы увидим'ниже, они играют важную роль в определении токов при наличии приложенного напряжения.
4) Более подробно это уравнение исследуется в задаче 1.
216
Глава 29
тельно, пс = А7^ в и-части, рв — Л^а в р-части, а р = 0. Внутри указанной области, за исключением ближайшей окрестности ее границ, отклонение величины еф от асимптотического значения во много раз превосходит квТ, поэтому пс <€ Ро <С Ма. Таким образом, за исключением окрестности точек х = = —с1р и х = (1п, плотность заряда в области между — с1р и йп достаточно точно описывается формулой р (х) = е [Ы а (х) — N а (х)]. При этом в указанной области концентрация носителей очень мала, так что они не могут нейтрализовать заряды «ионизованных» примесей. Точки х = —йр и х = йп определяют, следовательно, границы обедненного слоя.
Объединяя полученные выше результаты и используя формулу (29.1) для концентраций примесей, получаем, что для всех х, кроме значений, немного превышающих —о1р или немного меньших о1п, уравнение Пуассона можно
вполне аппроксимировать уравнением
' о,
ф"(х) =
е
4явЛГ„
х>о1п, йп>х>0,
0>х>—й
0,
-о1р >х.
(29.13)
Непосредственным интегрированием получаем отсюда
ф (со),
ф(х) = \
ф(оо)-(Л^)(х-ап)*,
ф(-оо)+{^^-)(х + йр)\ Ф (— °°)>
х>о1п, о1п>х>0,
0>х> — о1р,
(29.14)
Решение (29.14) удовлетворяет граничным условиям (непрерывность потенциала ф и его первой производной) при х = —о1р и х = с1п. Потребовав выполнения этих условий и при х = 0, можно получить два дополнительных равенства, которые определяют размеры о1п и (1Р. Из непрерывности производной ф' при х = 0 следует равенство
