Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы определить, какое число носителей тока может быть переброшено с примесных уровней путем теплового возбуждения, нужно вычислить среднее число электронов на этих уровнях при заданных температуре и химическом потенциале. Концентрацию примесей будем считать достаточно малой, чтобы можно было пренебречь взаимодействием между электронами и дырками, локализованными на различных примесях. Мы можем тогда найти концентрацию электронов па (или дырок ра), связанных с донорными (или акцепторными) примесями, просто умножив концентрацию доноров Nd (или акцепторов Na) на среднее число электронов, локализованных на отдельной примеси. Будем предполагать для простоты, что примесь создает только один одноэлектронный уровень х), и вычислим его среднюю населенность.
Донорный уровень. Если мы пренебрегаем электрон-электронными взаимодействиями, то данный уровень может быть пустым, может быть занят одним электроном с произвольно направленным спином или же занят двумя электро-
х) Это требование не вытекает из каких-либо общих соображений, и мы делаем предположение о наличии только одного связанного уровня лишь для простоты рассмотрения. Однако наши качественные выводы являются достаточно общими (см. задачу 4, п. «в»).
204
Глава 28
нами с противоположными спинами. Однако в последнем случае кулоновское отталкивание двух локализованных электронов столь сильно увеличивает энергию уровня, что нахождение двух электронов на одном уровне практически запрещено. Общее выражение для среднего числа электронов в системе при термодинамическом равновесии имеет вид
2 Ур-КЕг»",)
2
(28.30)
где суммирование проводится по всем состояниям системы, Еу и Nj — энергия и число электронов в /-и состоянии, \х — химический потенциал. В данном случае система представляет собой отдельную примесь с тремя состояниями: одно состояние, в котором отсутствуют электроны и которое не вносит вклада в энергию, а два состояния с одним электроном, имеющие энергию Поэтому из (28.30) получаем
<"> =-. -ял*-..л =~——~> (28.31)
откуда г)
1 + 2е-*&*-»)
42*
(28.32)
Акцепторный уровень. В отличие от донорного уровня акцепторный, если его рассматривать как электронный уровень, может быть однократно или двукратно заполненным, но не может быть пустым. Это легко увидеть, исходя из дырочной картины. Акцепторную примесь [можно представить как фиксированный отрицательно заряженный притягивающий центр, наложенный на оставшийся неизменным атом основного вещества. Этот дополнительный заряд —е может образовать слабо связанное состояние с одной дыркой (отвечающей одному электрону на акцепторном уровне). Энергия связи дырки есть %а — когда происходит «ионизация», на акцепторный уровень приходит добавочный электрон. Однако конфигурация, в которой на акцепторном уровне отсутствуют электроны, отвечает двум локализованным дыркам вблизи акцепторной примеси и имеет очень большую энергию из-за взаимного кулоновского отталкивания двух дырок 2).
Имея это в виду, мы можем, используя (28.30), вычислить среднее число электронов на акцепторном уровне, отметив, что состояние без электронов теперь является запрещенным, а энергия двухэлектронного состояния превышает энергию двух одноэлектронных состояний на величину Ща.
Итак,
,.+ -в„ -„и - . в,1-«^ . - (28-33)
*) Некоторое представление о причинах появления необычного множителя 1/2, отличающего выражение (28.32) от более привычной функции, распределения Ферми — Дирака, можно составить, если исследовать, что происходит при уменьшении энергии двукратно занятого уровня от +оо до 2%а; см. задачу 4.
2) Описывая акцепторный уровень как электронный, обычно пренебрегают электроном, который должен находиться на этом уровне, и рассматривают только наличие или отсутствие второго электрона. Уровень называют заполненным или пустым в зависимости от того, имеется ли на нем второй электрон или нет.
Однородные полупроводники
205
Среднее число дырок на акцепторном уровне равно разности между максимальным числом электронов (два), которые могут находиться на этом уровне, и средним числом (п) электронов на нем, т. е. (р) = 2 — (я); следовательно, величина ра = Nа (р) определяется выражением
Ра-
Яд
В(1*-«а)
+1
(28.34)
РАВНОВЕСНАЯ КОНЦЕНТРАЦИЯ НОСИТЕЛЕЙ В ПРИМЕСНОМ ПОЛУПРОВОДНИКЕ
Рассмотрим полупроводник, в котором на единицу объема приходится N(1 донорных и Nа акцепторных примесей. Чтобы определить концентрации носителей, мы должны обобщить условие пс — р„ [см. (28.18)], которое позволило нам найти эти концентрации в случае собственного (чистого) полупроводника. Мы можем сделать это, рассмотрев для начала электронную конфигурацию при Т = 0. Пусть На ^2= Йа [случай < На рассматривается аналогично и ведет к тому же результату (28.35)]. Тогда в единице объема полупроводника Ыа из Л/^ электронов, отданных донорными примесями, могут перейти на акцепторные уровни х). Это приводит к электронной конфигурации основного состояния, в которой заполнены акцепторные уровни, уровни валентной зоны и N(1 — донорных уровней, а зона проводимости пуста. В случае термодинамического равновесия при температуре Т электроны перераспределятся между уровнями таким образом, что число электронов в зоне проводимости и на донорных уровнях станет больше, чем при Т = 0. Поскольку общее число электронов не меняется, увеличение их числа в зоне проводимости и на донорных уровнях в точности равно числу пустых уровней (т. е. дырок), р„ + ра в валентной зоне и среди акцепторных уровней:
