Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
РАВНОВЕСНЫЙ р — м-ПЕРЕХОД
Определим концентрации носителей и электростатический потенциал ф (х), обусловленный неоднородным легированием. Предположим, что во всем материале выполняется условие невырожденности, и поэтому концентрации носителей в каждой точке х имеют максвелловскую форму, как и концентрации (28.12)
х) Грубое рассмотрение применительно к металлам см. в приложении К. Аналогичное исследование (столь же грубое) может быть проведено и для полупроводников.
Неоднородные полупроводники
213
в однородном случае. В неоднородном случае полуклассический вывод выражения для концентраций носителей в точке х в области перехода при наличии потенциала ф (х) сводится к повторению соответствующего вывода для однородного случая, однако при этом надо использовать полуклассическую формулу для одноэлектронной энергии (29.2), в которой каждый уровень сдвинут на —еф (х). Используя выражение (28.3) для энергии ?(к), применимое при описании уровней вблизи минимума зоны проводимости или же максимума валентной зоны, мы видим, что в результате значения констант Шс и Ш„ изменяются просто на —еф (х). Поэтому вместо выражений (28.12) для равновесных плотностей носителей в этом случае мы имеем более общие выражения:
пс{х) = Мс( Т) ехр { - ГЫ^ЫИ } ,
рЛ*) = РАТ)ех*{-[»-ХтФ{Х)]}- (29'3)
Потенциал ф {х) следует определять самосогласованным образом (с помощью уравнения Пуассона) как потенциал, возникающий при концентрациях носителей, описываемых выражениями (29.3). Рассмотрим эту задачу для частного случая (снова наиболее интересного в практическом отношении), когда по обе стороны от переходной области на большом расстоянии от нее преобладает примесная проводимость, а примеси полностью «ионизованы» (стр. 205—206). Таким образом, вдали от перехода в /г-области образца концентрация электронов в зоне проводимости почти равна концентрации доноров Ыа, а в р-области концентрация дырок в валентной зоне почти равна концентрации акцепторов Ма:
Nd = nc(oo) = Nc (Т) ехр { - ^е-«ФМ-Н \ 1
(29 4)
ЛГа = Р,(-°°) = Л,(В«Ч>{- [Е-*» + 'г+<-">1 }.
Поскольку весь кристалл находится в состоянии термодинамического равновесия, химический потенциал одинаков во всех точках. В частности, в формулы (29.4) входит одно и то же значение р. Отсюда непосредственно следует, что полное изменение потенциала на переходе описывается формулой 1)
еф(оо)-еф(-оо) = Шс-Ш0 + квТ 1п. (29-5)
или
(29.6)
Иногда полезен другой способ записи формул (29.3) и (29.6). Если ввести зависящий от пространственных координат «электрохимический потенциал»
|ле (х) = и + еф (х), • (29.7)
*) Для вывода соотношения (29.5) необходимо, чтобы соотношения (29.3) выполнялись только вдали от обедненного слоя, где потенциал ф изменяется медленно. Поэтому соотношение (29.5) оказывается справедливым, даже если полуклассическая модель неприменима в переходном слое.
214
Глава 29
/ей
У///////////////Л
(29.8)
Фиг. 29.2. Два эквивалентных способа описания влияния внутреннего потенциала ф (х) на концентрацию электронов и дырок в р — п-переходе.
а — изменение электрохимического потенциала це (ж) = ц + еф (ж) вдоль р — n-перехода. Концентрации носителей в любой точке х имеют такую же величину, как в однородном полупроводнике, который характеризуется фиксированными значениями энергий зон и примесных уровней %с, %v, %^ и gа и химическим
потенциалом це (х).
б — здесь величина %с (ж) = Шо — еФ (ж) представляет собой энергию локализованного вблизи х электронного волнового пакета, образованного из уровней, ближайших к дну зоны проводимости; аналогично определяется величина %п (ж). Энергии локальных примесных уровней имеют значения ~*&й —
— еф (ж) и %а (х) = %а — еФ (ж). Показан также химический потенциал (имеющий постоянное значение). Концентрации носителей в любой точке х имеют такую же величину, как в однородном полупроводнике, характеризуемом значениями энергий зон и примесных уровней, равными %с (ж), %d (ж), %а (ж) и
%v (х) при фиксированном химическом потенциале |Х.
то можно записать выражения для концентраций носителей (29.3) в виде пв (х) = Nc (Т) ехр { - ^~М*)1 | ^
Выражения (29.8) имеют в точности такой же вид, как и выражения (28.12) для однородных полупроводников, за исключением того, что постоянный химический потенциал li заменяется на электрохимический потенциал \ie (х). Таким образом, величина \ie (оо) представляет собой химический потенциал однородного кристалла /г-типа, обладающего такими же свойствами, как и неоднородный кристалл в ?г-об ласти вдали от перехода, a Lie( — оо) — химический потенциал однородного кристалла р-типа, аналогичного р-области неоднородного кристалла вдали от перехода. Соотношение (29.6) можно записать эквивалентным образом *):
_ е Аф = iie (оо) - ц, (-со). (29.9)
х) Это непосредственно следует из соотношения (29.7). Соотношение (29.9) иногда формулируют как правило, согласно которому полное изменение потенциала таково, чтобы «уровни Ферми совпадали на обоих концах перехода». Такая формулировка, очевидно, основывается на представлении, которому соответствует фиг. 29.2, б.
