Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Однородные полупроводники
195
в валентной зоне, то независимо от концентрации примесей число носителей, имеющихся при данной температуре Т, описывается выражениями
оо
пе(Т)= \аШёс{Ш) а-ДдГ ,
* е +1
©с
р„ (Т) = 5 М89 (Щ (1 - ^-^вГ+1) = ] (») е(,-^в^+1
(28.9)
При определении пс и рв влияние примесей сказывается только через величину химического потенциала ц 1), который подставляется в (28.9). Чтобы найти \1, нужно иметь некоторую информацию о примесных уровнях. Однако из выражений (28.9) можно получить кое-какие полезные сведения, не зависящие от точного значения химического потенциала, если только оно удовлетворяет условиям
Существует область значений ц, для которой условия (28.10) выполняются даже при весьма малой ширине запрещенной зоны Ее = Шс — Ш„, составляющей всего несколько десятых электронвольта, и при температурах, близких к комнатной. Дальнейшее рассмотрение будет заключаться в следующем: допустив справедливость условий (28.10), упростим с их помощью выражения (28.9); затем, исходя из полученных таким образом значений пс и р„ и имеющейся информации о возможных примесных уровнях, вычислим реальное значение химического потенциала и проверим, действительно ли оно попадает в область, определяемую условиями (28.10). Если химический потенциал лежит в указанном интервале, полупроводник называется «невырожденным» и проведенное рассмотрение справедливо. Если это условие не выполняется, мы имеем дело с «вырожденным полупроводником» и должны работать непосредственно с выражениями (28.9), не производя упрощений, основанных на использовании условий (28.10).
Пусть условия (28.10) выполняются; тогда благодаря тому, что каждый уровень в зоне проводимости лежит выше Щс, а каждый уровень валентной зоны — ниже Щ„, мы можем упростить выражение для функций распределения в (28.9):
е(*-«*)/*вг+1
_!_~ е-(и-«)/*вг ш
,(и-«)/*вт ~е
(28.11)
х) Очень часто химический потенциал полупроводника называют «уровнем Ферми», однако это — довольно неудачная терминология. Поскольку химический потенциал почти всегда лежит в запрещенной зоне, ни один одноэлектронный уровень не совпадает с уровнем Ферми (в отличие от ситуации, существующей в металлах). Поэтому обычное определение уровня Ферми (как той энергии, ниже которой в металле в основном состоянии одноэлектрон-ные уровни заполнены, а выше не заполнены) в полупроводнике оказывается неоднозначным: любая энергия в пределах запрещенной зоны отделяет занятые уровни от незанятых при Т = 0. Когда речь идет о полупроводниках, термин «уровень Ферми» следует рассматривать не более как синоним термина «химический потенциал».
196
Глава 28
Таким образом, выражения (28.9) принимают вид
пс(Т) = Мс(Т)е-^с-^/квт, р„(Т) = Ри(Т)е-^%^'!1вт,
(28.12)
где
РЕ (Г) = ]'<1Ше,(Ш)е-С*'-'*Уквт.
(28.13)
Поскольку области интегрирования в (28.13) включают точки, где показатели экспонент обращаются в нуль, Nc (Г) и РК (Т) представляют собой относительно медленно меняющиеся функции температуры по сравнению с теми экспонентами, на которые они умножаются в выражениях (28.12). Это их наиболее важное свойство. Обычно, впрочем, функции Nс и Р„ можно вычислить в явном виде. Из-за наличия экспоненциальных множителей в подынтегральных выражениях (28.13) существенный вклад вносят только энергии из областей шириной квТ вблизи краев зоны; в этих областях квадратичное приближение (28.2) или (28.3) обычно оказывается превосходным. Плотности уровней тогда можно представить в следующей форме (задача 3):
*С.В = "К2|»-8С.0| и вычисление интегралов (28.13) дает
*с(7) = т(-^в-Л,(Л=4(
яй2 2тп„квТ
3/2 те,у
I 3/2
,3/2
(28.14)
(28.15)
ли2
Здесь т\ — произведение главных значений тензора эффективной массы для зоны проводимости (т. е. его детерминант) '), величина т% определяется аналогичным образом.
Формулы (28.15) могут быть приведены к виду, удобному для численных расчетов:
= 2,5 п т 300 к )'/2 .10» см-3,
= 2,5 р( т зоик |3/2 .10" см"3,
(28.16)
где температура Т должна быть выражена в Кельвинах. Поскольку экспоненты в (28.12) меньше единицы по крайней мере на порядок, а тс/пг и т„/т обычно близки к единице, формулы (28.16) показывают, что абсолютный верхний предел концентрации носителей в невырожденном полупроводнике составляет 1018 или 10" см"3.
х) Если в зоне проводимости имеется больше одного минимума, то необходимо взять сумму членов типа (28.14) и (28.15), отвечающих каждому минимуму. Эти суммы будут иметь такой же вид, как и (28.14) и (28.15), если определение те заменить следующим: т^2 2 го|'2.
Однородные полупроводники
197
Пока нам неизвестно значение химического потенциала р, мы еще не можем получить пс (Т) и р„ (Т) из (28.12). Однако произведение этих двух концентраций не зависит от р:
ncPv = NcPve-(-%o-^vyhBT = NcPve~Eg/hBT.
(28.17)
Этот результат (иногда называемый «законом действующих масс» 1)) означает, что при данной температуре достаточно знать концентрацию носителей одного типа, чтобы найти концентрацию носителей другого типа. Каким образом это сделать, зависит от того, насколько существенный вклад в концентрацию носителей вносят примеси.
