Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим, например, примеси замещения в полупроводнике IV группы. Допустим, что мы взяли кристалл чистого германия и заменили произвольный атом германия его правым соседом по периодической системе элементов — мышьяком (фиг. 28.11). Ион германия отдает четыре валентных электрона
Чтобы убедиться в правильности этих соотношений, не обязательно подставлять явные выражения для пг и (хг-; достаточно заметить, что пс и р„ пропорциональны соответственно ехр(р*и,) и ехр (—Ви.) и что при (х = (хг обе эти концентрации равны п;.
200
Глава 28
О Се
а 6 в
Фиг. 28.11. а — схематическое изображение донорной примеси (атом мышьяка с валентностью 5), замещающей в кристалле атом германия (валентность 4). 6 — атом мышьяка (Аб) можно представить как атом германия плюс добавочный единичный
положительный заряд, закрепленный в узле решетки (точка в кружке). в — в полуклассическом приближении, в котором чистый полупроводник рассматривается как однородная среда, примесный атом мышьяка заменяется фиксированным точечным зарядом +е (точка).
и имеет заряд 4е, а ион мышьяка отдает пять валентных электронов и имеет заряд 5е. Если в первом приближении пренебречь различием структуры ионных остатков мышьяка и германия, то можно представить замещение атома германия атомом мышьяка как менее существенную модификацию и считать, что атом германия остается на месте, но в тот же узел кристаллической решетки помещается дополнительный неподвижный положительный заряд е, а тлкже еще один электрон.
Рассмотрим общую модель полупроводника, легированного донорными примесями. В единице объема чистого идеального кристалла хаотически распределены г) N в фиксированных притягивающих центров с зарядами +<? и такое же число дополнительных электронов с зарядами —е. Предполагается, что каждый центр с зарядом +е может образовать связанное состояние с одним из дополнительных электронов, обладающих зарядом —е 2). Если бы примесь находилась не внутри полупроводника, а в пустом пространстве, то энергия связи электрона была бы просто равна первому ионизационному потенциалу атома примеси, равному 9,81 эВ для мышьяка. Однако (и это имеет решающее значение для теории полупроводников) благодаря тому, что примесь находится в полупроводнике, энергия связи значительно уменьшается (до 0,013 эВ для мышьяка в германии). Это происходит по следующим причинам.
1. Поле заряда, моделирующего примесь, должно быть уменьшено в е раз (е — статическая диэлектрическая проницаемость полупроводника) 3). Значения е могут быть весьма велики (е а 16 в германии); они обычно лежат в пределах примерно меяаду 10 и 20, но в ряде случаев могут достигать 100 и выше. Большие значения диэлектрических проницаемостей обусловлены малой шириной запрещенной зоны. Если бы запрещенная зона вообще отсутствовала, то кристалл был бы не полупроводником, а металлом[и статическая диэлектрическая
!) При весьма специальных условиях может оказаться, что и сами примеси образуют пространственно-упорядоченную структуру. Мы не будем здесь рассматривать эту возможность.
2) Как мы увидим, связь очень слаба, и электроны,' связанные с центром, легко высвобождаются в результате теплового возбуждения.
3) Использование макроскопической электродинамики при рассмотрении энергии связи отдельного электрона оправдывается тем обстоятельством, что (как показано ниже) волновая функция связанного электрона спадает на характерном расстоянии в несколько сотен ангстрем.
Однороные полупроводники
201
проницаемость была бы бесконечно большой, поскольку в этом случае статическое электрическое поле вызывало бы ток и электроны могли бы уйти сколь угодно далеко от своего первоначального положения. Если ширина запрещенной зоны мала, но не равна нулю, то диэлектрическая проницаемость не будет бесконечной, но может быть весьма велика, поскольку пространственное распределение электронов сравнительно легко поддается изменению г).
2. Электрон, движущийся в полупроводнике, должен описываться не соотношением между энергией и импульсом, характерным для свободного пространства, а полуклассическим соотношением (см. гл. 12) ? (к) = Шс (к), где Йк — квазиимпульс электрона, а Шс (к) — зависимость энергии электрона от импульса в зоне проводимости. Иначе говоря, можно считать, что добавочный электрон, внесенный примесью, находится в состоянии, которое описывается суперпозицией уровней зоны проводимости чистого вещества, соответствующим образом измененных из-за наличия дополнительного локализованного заряда+е, моделирующего примесь. Чтобы энергия электрона была минимальной, он должен занимать только уровни вблизи дна зоны проводимости, для которых применимо квадратичное приближение (28.2). Если бы минимум зоны проводимости располагался в точке с кубической симметрией, то электрон вел бы себя почти как свободный, но обладал бы эффективной массой, отличной от массы свободного электрона т. В более общей ситуации зависимость энергии от волнового вектора будет некоторой анизотропной квадратичной функцией к. В любом случае, однако, мы можем в первом приближении считать, что электрон движется в вакууме, но имеет соответствующим образом определенную эффективную массу т*, а не массу свободного электрона. Эта масса, вообще говоря, меньше массы свободного электрона во многих случаях в 10 и более раз.
