Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
пс + па = — 7Уа + р„ + ра.
(28.35)
Используя это уравнение в сочетании с полученными нами выше явными выражениями для пе, р„, па и па как функций от р, и Т, можно найти р как функцию от Т и таким образом получить равновесные значения концентрации носителей при любой температуре. Общее рассмотрение весьма сложно, и мы здесь ограничимся поэтому только особенно простым и важным частным случаем.
Пусть
8„ - иЛ> квТ, (28.36)
(* - 5 а > квТ.
Поскольку Ща и Ша лежат вблизи краев запрещенной зоны, это ограничение ненамного сильнее условия невырожденности системы (28.10). Условие (28.36) и выражения (28.32), (28.34) для па и ра обеспечивают полную «ионизацию» примесей за счет теплового возбуждения: только ничтожно малое число примесей сохраняет связанные с ними электроны или дырки: па < ра < Nа. При этом (28.35) принимает вид
Дп = пе - р„ = ЛГ„ - Иа. (28.37)
х) Поскольу %а лежит немного ниже минимума зоны проводимости %с, а %а немного выше максимума валентной зоны %„, мы имеем %й > %а (см. фиг. 28.12).
206
Глава 28
іп л.
Наклон=-у$с-&й) Наклон = -(5с-?с0
\наклон=-^Ед \
Фиг. 28.13. Температурная зависимость концентрации основных носителей тока (для случая ЛГ<г > Ла).
Два высокотемпературных режима обсуждаются в тексте, поведение при очень нивких температурах описано в задаче 6.
Теперь можно, исходя из формул (28.25) и (28.27), представить концентрации носителей и химический потенциал в виде явных функций только температуры:
І-КЛ^-л^-Ниіі172
(28.38) (28.39)
Если ширина запрещенной зоны велика по сравнению с квТ, то предположение (28.36), с которого мы начинали, остается справедливым, пока разность между и. и не станет достаточно большой по сравнению с квТ. Согласно выражению (28.39), это произойдет, если величина | Ыд — Л7^ | будет на несколько порядков больше собственной концентрации носителей и,. Поэтому выражение (28.38) правильно описывает переход от полупроводника с почти собственной проводимостью (п1 > | N(1 — Иа |) к полупроводнику с преимущественно примесной проводимостью (п1 <С I — №а |). Разлагая выражение (28.38), мы находим, что при малых количествах примесей поправки к концентрациям носителей в собственном полупроводнике можно записать следующим образом:
н±±(Ма-Ла), (28.40)
тогда как для широкого полупроводнике имеем
интервала концентраций носителей в несобственном
п2
0 N
(28.41)
Равенства (28.41) весьма важны для теории полупроводниковых приборов (см. гл. 29). Они показывают, что имеющийся за'счет примесей избыток электронов (или дырок) — Ыа почти полностью передается в зону проводимости (или валентную зону); концентрация носителей в другой зоне имеет значительно меньшую величину, равную п\1 \ (Л7^ — ./Уа) | в соответствии с законом действующих масс (28.24).
Однородные полупроводники
207
При очень низкой температуре (или очень большой концентрации носителей) условие (28.36) в конце концов нарушается и какая-либо из величин паШй или раШа (но не обе вместе) уже не будет пренебрежимо малой. Это означает, что тепловое возбуждение теперь уже не может привести к полной ионизации примесей одного из типов. В результате концентрация основных носителей тока падает с понижением температуры (фиг. 28.13) 1).
По мере приближения температуры к нулю то же самое происходит с долей ионизованных примесей и, следовательно, с концентрацией носителей в зоне проводимости или в валентной зоне. Тем не менее некоторая небольшая остаточная проводимость наблюдается даже при самых низких температурах. Это происходит потому, что волновая функция электрона, связанного с примесью, имеет значительную протяженность в пространстве, поэтому перекрытие волновых функций различных примесных центров возможно даже при довольно низких концентрациях. (То же самое относится и к дыркам.) Когда этим перекрытием пренебречь нельзя, электрон имеет возможность туннелировать с центра на центр. Происходящий в результате перенос заряда называется «проводимостью за счет примесной зоны».
Использование термина «зона» основывается на аналогии с методом сильной связи (гл. 10), согласно которому набор атомных уровней с одинаковой энергией при учете перекрытия волновых функций размывается в энергетическую зону. Однако примеси обычно расположены не в узлах решетки Бравэ, поэтому необходимо соблюдать осторожность, приписывая примесным «зонам» черты, присущие электронным зонам в периодических потенциалах 2).
Из статистики Ферми — Дирака и условия невырожденности (28.10) непосредственно следует (см. задачу 7), что равновесное распределение скоростей электронов вблизи данного минимума зоны проводимости (или дырок вблизи данного максимума валентной зоны) имеет вид
где п — вклад этих носителей в полную концентрацию.
Именно такую форму принимает при термодинамическом равновесии распределение скоростей молекул классического газа. Однако здесь имеются два отличия.
1. В классическом газе концентрация молекул п задана; в полупроводнике же величина п чрезвычайно чувствительна к изменениям температуры.
2. В классическом газе тензор массы М диагоналей.
