Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Неоднородные полупроводники
221
обедненного слоя) уравнения, связывающие полные электронные и дырочные токи /е (х) и 3\ (х), концентрации электронов и дырок пс(х) и р„(х) и потенциал ф (х) [или, что то же самое, электрическое поле, Е (х) = —о\ф (х)1йх\. Мы получим пять уравнений, которые позволят в принципе определить эти пять величин. Такой метод представляет собой непосредственное обобщение подхода, который мы применяли при анализе равновесного случая (V = 0). При равновесии электронные и дырочные токи обращаются в нуль и имеются только три неизвестные величины; в этом случае используются три уравнения: уравнение Пуассона и два уравнения (29.3), связывающие при термодинамическом равновесии пс(х) и рв(х) с ф{х). Итак, можно считать, что неравновесная задача заключается в нахождении подходящих уравнений, заменяющих равновесные соотношения (29.3), когда V =^0 и существуют токи.
Отметим прежде всего, что при наличии электрического поля и градиента концентрации носителей плотность потока носителей можно представить в виде суммы двух членов, один из которых пропорционален полю (дрейфовый ток), а другой — градиенту концентрации (диффузионный ток):
Je= —linncE — Dn^-, Jh = pppBE-Dp3g-.
(29.27)
Положительные г) коэффициенты пропорциональности р„ и цр, входящие в (29.27), называются соответственно подвижностями электронов и дырок. Мы ввели подвижности, а не записали дрейфовый ток через проводимость, чтобы выделить явно зависимость дрейфового тока от концентрации носителей. Если имеются только электроны, концентрация которых однородна, то оЕ = = 7 = —еЗ'е = е\1ппЕ. Используя формулу Друде (1.6) для проводимости о — пе2т/т, находим
^ ет0011
(29-28)
и аналогично
втсоП
Ир = -^-. (29-29)
где тп и тр — соответствующие эффективные массы, а %С°П и Тр011 — средние времена между столкновениями носителей 2).
Положительные 3) коэффициенты пропорциональности Бп и Бр, входящие в (29.27), называются коэффициентами диффузии. Они связаны с подвижностями
г) Знаки в (29.27) выбраны так, чтобы подвижности были положительны; дырочный дрейфовый ток направлен по полю, а электронный — против поля.
2) В полупроводниках имеется еще одно характерное время, играющее фундаментальную роль,— время рекомбинации (см. ниже). Индекс «со11» (collision — столкновение) введен, чтобы отличить средние времена между столкновениями от времен рекомбинации.
3) Они положительны, так как диффузионный ток направлен из области высокой в область низкой концентрации носителей. При нулевом поле соотношения (29.27) иногда называют законом Фика.
222
Глава 29
соотношениями Эйнштейна х):
__ eDn _.eDP
(Ап— квТ • Рр~~ квТ
(29.30)
Соотношения Эйнштейна следуют непосредственно из того факта, что при термодинамическом равновесии электронные и дырочные токи должны обращаться в нуль. Только если подвижности и коэффициенты диффузии удовлетворяют равенствам (29.30), токи, определяемые формулами (29.27), обратятся в нуль при равновесных значениях концентраций носителей (29.3) 2) [что легко проверить прямой подстановкой (29.3) в (29.27)].
Соотношения (29.27), выражающие токи через поля и градиенты концентраций, и формулы (29.28) — (29.30) для подвижностей и коэффициентов диффузии можно получить также непосредственно при помощи простого кинетического рассмотрения типа использованного в гл. 1 (см. задачу 2).
Отметим, что при термодинамическом равновесии соотношения (29.27) и условия /е = /Л = 0 содержат всю информацию, необходимую для определения концентраций носителей, поскольку в отсутствие токов мы можем проинтегрировать уравнения (29.27) и (с помощью соотношений Эйнштейна) независимым образом вывести выражения для равновесных концентраций (29.3). При V Ф§ и наличии токов необходимы еще уравнения, которые можно рассматривать как обобщение на неравновесный случай равновесного условия отсутствия токов. Если бы число носителей сохранялось, то необходимое обобщение свелось бы просто к уравнениям непрерывности
дпс _ д/е
д1 дх
Эти уравнения отражают тот факт, что изменение числа носителей в некоторой области полностью определяется скоростью, с которой носители втекают в эту область и вытекают из нее. Однако число носителей не сохраняется. Электроны зоны проводимости и дырки валентной зоны могут генерироваться в результате теплового возбуждения электронов с уровней в валентной зоне. Помимо этого, электрон зоны проводимости может рекомбинироватъ с дыркой валентной зоны (т. е. электрон может занять пустой уровень, который и является дыркой), что приводит к исчезновению обоих носителей. В уравнения непрерывности следует добавить члены, описывающие все процессы, которые изменяют число частиц в выделенной области:
дпс _ / с1пс \ дJe
дРъ ( <1р„ \ д1н
( dPv \ \ dt h
dt \ dt I g-r дх Чтобы определить вид производных (dnc/dt)g.r и {dpvldt)g.r, отметим, что, когда концентрации носителей отклоняются от равновесных значений, генерация и рекомбинация ведут к восстановлению термодинамического равновесия. В областях, где пс и pv превышают равновесные значения, рекомбинация происходит быстрее, чем генерация, приводя к уменьшению концентрации носителей;
