Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
г) Соотношения Эйнштейна имеют весьма общий характер; они возникают при рассмотрении любых заряженных частиц, подчиняющихся статистике Максвелла — Больцмана, например ионов в электролитах.
2) Обобщение соотношений (29.30) на вырожденный случай дано в задаче 3.
Неоднородные полупроводники
223
там же, где носителей меньше, чем нужно, генерация превышает рекомбинацию, приводя к росту концентрации носителей. В простейших моделях эти процессы описываются временами жизни электронов и дырок *), тп и тр. Скорость изменения концентрации носителей каждого типа при рекомбинации и генерации пропорциональна отклонению ее от значения, определяемого концентрацией носителей другого типа и законом действующих масс (28.24).
/ д.пс \ _ К—"Л)
\ СИ Iй-т тп '
/оч (29-33)
/ йр„ \ = (Ру~Ру)
\ А ) g-r 1р '
где п°с = п|/р„ и р° = п\1пс.
Чтобы понять смысл этих уравнений, отметим, что, например, первое из них описывает изменение концентрации электронов, обусловленное генерацией и рекомбинацией, за бесконечно малый промежуток времени М:
пс (I + М) = (1 —?-) Пс (*) + п°с. (29.34)
Первый член в правой части уравнения (29.34) описывает уничтожение (сй/тп) X X пс (?) электронов при рекомбинации; таким образом, величина тп представляет собой среднее время жизни электрона до рекомбинации. Второй член в правой части описывает рождение п°с1хп электронов в единице объема за единицу времени, обусловленное тепловой генерацией. Заметим, что концентрации носителей, согласно уравнениям (29.33), как и должно быть, уменьшаются, если они превышают равновесные, и увеличиваются, если они меньше равновесных, и остаются неизменными, если они имеют равновесное значение.
Времена жизни тп и тр обычно значительно больше времени между столкновениями для электронов и дырок т^011 и Тр011, так как рекомбинация (или генерация) электрона и дырки связана с межзонными переходами (при генерации электрон переходит из валентной зоны в зону проводимости, а при рекомбинации — из зоны проводимости в валентную зону). Обычные столкновения, которые сохраняют число носителей, приводят к внутризонным переходам. В соответствии с этим времена жизни обычно лежат в интервале 10~8—Ю-8 с, а времена между столкновениями практически имеют такую же величину, как в металлах, т. е. Ю-12 или Ю-13 с.
В присутствии статического внешнего потенциала р—п-переход, не будучи в термодинамическом равновесии, находится тем не менее в стационарном состоянии, т. е. концентрации носителей не меняются со временем, с1пс/сИ = = йрк1оИ = 0. Используя этот факт и формулы (29.33) для скоростей изменения числа носителей за счет генерации и рекомбинации, находим из уравнений непрерывности (29.32)
<1х
¦о,
их
= 0.
(29.35)
Эти уравнения заменяют при V ф0 условия равновесия Je = .Тк = 0.
1) Называемыми также «временами рекомбинации». Из условия сохранения полного электрического заряда следует, что скорости рекомбинации должны быть пропорциональны концентрациям носителей другого типа: (1/тп)/(1/т/;) = рь1пс.
224
Глава 29
Рассмотрим выражения (29.35) и (29.27) в одном очень важном случае, а именно для областей, в которых электрическое поле Е пренебрежимо мало и концентрация основных носителей постоянна. В этом случае можно пренебречь дрейфовым током неосновных носителей по сравнению с диффузионным током и выражения (29.27) и (29.35) сводятся к одному уравнению для концентрации неосновных носителей с постоянным временем рекомбинации:
йгпс
п их*
№р„
Ри — РЪ
Р в.х*
(29.36)
Решения уравнений (29.36) экспоненциально зависят от х1Ь, причем длины
Ьп = {Бпхп)
42
?р = (?рТр)
Чг
(29.37)
называются электронной и дырочной диффузионными длинами. Предположим, например (чтобы рассмотреть случай, важный для дальнейшего), что мы находимся в области постоянного потенциала на п-стороне перехода, поэтому равновесная концентрация р1 имеет постоянное значение р„ (оо) = п\ШЛ. Если в точке х0 зафиксировать значение концентрации дырок р„(х0) фрк(оо), то решение уравнения (29.36) для х ^ х0 имеет вид
¦¦Ро (<*>) + [Р» (*«,) - Рь («>)] е~(Х-Ха)1Ьг
Р0 (х)
р.
(29.38)
Таким образом, диффузионная длина определяет расстояние, на котором концентрация релаксирует к своему равновесному значению.
Можно предположить, что расстояние Ь, на котором могут сохраняться отклонения от равновесия, должно в весьма грубом приближении совпадать с расстоянием, проходимым носителем тока до его рекомбинации. Это не сразу видно из выражений (29.37) для диффузионных длин?п шЬр, однако выявляется, если переписать (29.37), используя а) соотношения Эйнштейна (29.30) между коэффициентом диффузии и подвижностью, б) формулу Друде (29.28) или (29.29) для подвижности, в) соотношение 1/2ти1ь = 3/г^в^ между средним квадратом скорости носителя и температурой и г) определение -6 = у^т0011 средней длины свободного пробега носителя тока между столкновениями. Проделав эти подстановки, находим
( Зтс°а )
У*
Ьр=(
Зт?°а
3тсо11 /
(29.39)
Если предположить, что направление движения носителя после каждого столкновения произвольно, то N последовательных столкновений можно рассматривать как случайное блуждание с шагом длиной Легко показать *), что при таком блуждании полное смещение составляет Ы1^^. Поскольку число столкновений, которые носитель может испытать за время рекомбинации, равно отношению времени рекомбинации ко времени между столкновениями, выражения (29.39) действительно показывают, что диффузионная длина есть мера расстояния, которое может пройти носитель до рекомбинации.
