Задачи по элементарной физике - Ащеулов С.В.
Скачать (прямая ссылка):
U = -yMlR = -gR, , (1)
где R — расстояние исследуемой точки до точечной массы, создающей поле (источника); g — ускорение силы тяжести в этой точке. Знак минус в формуле (1) связан с нашим выбором начала отсчета для потенциала Uco = 0: так как массивные тела притягивают друг друга, то сближение тел осуществляется за счет действия самого поля. (Заметим, что в формуле (1) ускорение g является функцией R, так что в действительности потенциал U пропорционален 1 /R, а не R, как это кажется на первый взгляд.)
Для вычисления второй космической скорости воспользуемся законом сохранения энергии E0 = Eca, где E0 — энергия тела у поверхности Земли; EaS — энергия тела в бесконечности. Так как
E0 = mvl/2 — Ing0R3, Eoa = O,
где V2 — искомая скорость; R3 — радиус Земли; g0 — ускорение силы тяжести на ее поверхности, то
1>8 = У"2?оДз^И.2 КМ/С.
ЗАДАЧА 57
Считая, что Земля является однородным жидким шаром с плотностью р = 5,5 г/см3, определить давление в центре Земли. Построить график изменения давления внутрл Земли в зависимости от расстояния до центра Земли. Вращением Земли пренебречь.*
РЕШЕНИЕ
Рассмотрим внутри Земли тонкий сферический слой, концентричный земной поверхности и удаленный от центра Земли на расстояние X. Если Ax — толщина слоя, то примем, что Ax х, чтобы поле тяготения в пределах слоя можно было считать постоянным по величине. На малую площадку AS этого слоя действует сила тяготения, направленная к центру Земли и равная (см. задачу 53)
Ai^ = (4/3)^^^.
* Ч. К и 11 е л ь, У, Най T1 M1 Рудермап, Механика. М. „Наука", 1971,
01 Давление, которое оказывает этот слой на нижележащие слои, определяется соотношением
Apx = AFJAS = (4/3) уярЧАх.
Представим всю Землю в виде совокупности тонких концентрических слоев. Тогда давление р (г) на расстоянии г от центра можно представить как сумму давлений всех слоев, для которых х ^= г, т. е.
р (г) = (4/3) уяр2 lim V ^riAzi,
Axi-O І
где і — номер слоя, а суммирование выполняется для всех слоев, у которых г sg X1 =? R3 (R3 — радиус Земли).
Вычислять предел указанной величины вы умеете. Если построить график е;ависимости функции у = X от X, то на этом графике величина
Iim У] XiAxi
Axi-^O j
изображается площадью трапеции, основаниями которой являются ординаты X = г их = R3, а боковыми сторонами — отрезки прямых у = X и у = 0 между этими ординатами (ср. со способом вычисления величины перемещения при равномерно ускоренном движении). Следовательно,
Iim ^xiAxi = (R3 + г) (R3 - г)/2 = (Щ - г2)/2,
Axi —>0 і
Р(г) — (2/3) уяр2 (R3 — г2). Давление в центре Земли
р (0) = (2/3) ynpW°3 = 1,7- IOu н/м2.
Функция р (г) изображает параболу; постройте ее самостоятельно.
л З А Д А Ч А 58
В однородном шаре сделана сферическая полость, центр которой не совпадает с центром шара. Докажите, что поле тяготения, которое создается образовавшимся телом, внутри полости однородно.
РЕШЕНИЕ
Напомним, что поле называется однородным в некоторой области, если его напряженность во всех точках области одинакова по величине и направлению.
'Для поля тяготения справедлив принцип суперпозиции: если масса Ui1 создает поле с напряженностью g2, а масса т2 — поле с напряженностью g2, то напряженность поля, создаваемого обеими массами, равна векторной сумме g2 и g2.
Рассмотрим произвольную точку M внутри полости (см. рисунок), O1 — центр шара, O2 — центр полости. Если полость заполнить веществом той же плотности, что и тело, то ускорение
92 в точке M окажется равным вёличине g01 -O1MIR, где g01 — ускорение на поверхности полученного таким образом однородного шара радиусом R (см. задачу 53). Заполняя полость веществом, мы добавляем к искомому ускорению g ускорение g2, которое создается веществом в полости. Это ускорение равно величине g02-OuM/r, где g02 — ускорение на поверхности шара радиусом г. Следовательно, g2 + g = gi, откуда
g = gi-g2- (1)
Вектор g в соответствии с равенством (1) соединяет конец вектора g2- с концом вектора gt. Известно (см. задачу 53), что goJgui — иі следовательно, g1/g2 = O1MIO2M. Так как векторы gx и g2 направлены вдоль отрезков O1M и O2M и пропорциональны им по величине, треугольник, образованный из векторов g, gt и g2, подобен треугольнику O1O2M. Следовательно, вектор g параллелен отрезку O1O2 Hg= g01-O1O2IR = = const вне зависимости от положения M внутри полости, что и требовалось доказать.
Иногда в книгах можно встретить следующий способ рассуждений: шар с полостью можно представить себе как сферическую область пространства, занятую одновременно двумя телами — большим сплошным" шаром с положительной плотностью и ма- К задаче 58.
лым шаром, расположенным на месте
полости, с равной по величине, но отрицательной плотностью. Если применить к таким телам принцип суперпозиции, можно получить соотношение (1) и искомый результат. Этот метод получил название „метода отрицательной массы"*.
Мы хотим предостеречь вас от такого „способа" решения: несмотря на то, что в данном случае он формально приводит к верному результату, физического смысла он не имеет. Действительно, совершенно невозможно представить себе, как два тела, одно из которых имеет „отрицательную массу", занимают одно и то же место в пространстве. Кроме того, поскольку и само понятие „отрицательная масса" бессодержательно, тем более нельзя применять к этой „массе" закон всемирного тяготения и принцип суперпозиции..
