Задачи по элементарной физике - Ащеулов С.В.
Скачать (прямая ссылка):
* Во многих книгах это утверждение называется „теоремой Гаусса". Мы пользуемся названием „закон Гаусса", тоже распространенным, чтобы отличить этот физический закон от широко известной математической теоремы Остроградского Гаусса,
35 ципу суперпозиции. Следовательно, закон Гаусса справедлив и для электростатического поля.
Во многих задачах закон Гаусса приводит к результату быстрее и проще, чем непосредственное использование закона всемирного тяготения или закона Кулона (см. задачи 53, 106).
В заключение еще одно замечание. Если вы внимательно следили за рассуждениями, содержащимися в тексте решения задачи, то должны были заметить, что было негласно использовано такое утверждение: силовые линии непрерывны в тех местах, где отсутствуют массивные тела. Докажем (правда, не "очень строго) справедливость этого утверждения, пользуясь законом Гаусса. Пусть силовая линия начинается (или заканчивается) в некой точке А, где отсутствует вещество. Мысленно окружим А сферой с центром в А настолько малой, чтобы, во-первых, внутрь этой сферы не попало ни одного массивного тела, или его части, и, во-вторых, чтобы внутри сферы не начиналась, не кончалась никакая другая силовая линия. При этом условии поток через сферу отличен от нуля, что противоречит закону Гаусса. Следовательно, требуемое утверждение доказано.
З А Д А Ч А 52
Доказать, что поле тяготения, создаваемое тонким сферическим слоем, однородным по плотности, внутри сферы, окруженной этим слоем, отсутствует.
РЕШЕНИЕ
Обычно для доказательства этого утверждения используют следующий прием. Рассмотрим шаровой слой, толщина которого мала. Поместим в произвольную точку внутри сферы точечную пробную массу M (см. рисунок). Выделим на поверхности слоя площадку AS1, построим конус с вершиной в M и основанием ASr1 и продолжим боковую поверхность конуса до нового пересечения со слоем. Эта поверхность „вырежет" из слоя площадку AS2-Выберем величину AS1 настолько малой, чтобы тела AS1 и AS2 по отношению к пробной массе M можно было считать точечными массами. Тогда Ш притягивается этими массами с силами
F1^yMAm1Irl F2^yMAm2Irl (1)
направленными в противоположные стороны. В формулах (1) Am1 и Am2 — массы тел ASr1 и AS2; гх и г2 — расстояния M до этих тел. Нетрудно убедиться, что построенные конусы подобны друг другу, а это значит, что AS1IAS2 = (T1Ir2)2, откуда Am1JAm2 = = AiSr1ZAiSr2 = (jt1Ir2)2 ш Подставляя последнее выражение в фор-
86 мулы (1), приходим к выводу, что F1 = F2, т. е. равнодействующая сил взаимодействия M с массами Am1 и Am2 равна нулю.
Поскольку весь шаровой слой можно разбить на пары элементов, обладающих этим свойством, сила взаимодействия M со слоем равна нулю и не зависит от положения точки M ънутри слой. Следовательно, поле внутри слоя отсутствует.
Приведенное доказательство громоздко. Кроме того, если точка M близка к внутренней поверхности слоя, требуются дополнительные рассуждения, доказывающие справедливость результата и в этом случае.
Используем другой способ доказательства, представляя поле в виде картины силовых линий. Очевидно, что силовые линии поля внутри слоя, если они существуют, должны располагаться сферически симметрично. Симметрия может быть разных типов. Кубик и диск симметричны, но, как ин- , туитивно ясно, каждый по-своему. Сферической симметрией обладает, например, одноцветный круглый
мячик: как бы мы его ни пово- т,
К задаче Ы.
рачивали, он всегда выглядит одинаково.
Сферически симметричными в совокупности являются только линии, которые выходят из центра О в виде лучей во всевозможных направлениях.-Однако силовые линии не могут пересекаться в точке, в которой отсутствует вещество. Следовательно, силовых линий внутри слоя вообще нет, т.е. поле тяжести там отсутствует. Это доказательство является строгим.
Соображения симметрии играют важную роль в физике. Нам еще придется встретиться с их применением.
З А Д А Ч А 53
Построить график зависимости величины ускорения силы тяжести g в поле тяготения, создаваемом однородным шаром, от расстояния до центра шара (в том числе и для точек, лежащих внутри шара).
РЕШЕНИЕ
Известно, что однородный шар вне себя создает такое поле тяготения, как если бы вся его масса была сосредоточена в центре шара. *
,___у
* Интересно, что эту задачу поставил и решил еще Ньютон, причем результат очень долго не удавалось получить и пришлось попутно создать основы интегрального исчисления,
87 Таким образом, вне шара ускорение меняется по закону
g(x) = yM/x2, X ^szR,
где M — масса шара; х — расстояние до его центра (см. рис. а).
Поместим единичную пробную массу в точку А на расстоянии х от его центра, х R. Сила взаимодействия этой массы со сферическим слоем, внутренний радиус которого равен х, равна нулю (результат предыдущей задачи). Следовательно, сила взаимодейст-а, 5
Si
К задаче 53.
вия пробной массы со всем шаром такая же, как если бы этого сферического слоя вообще не было, т. е. ускорение в точке А
g(x) = ym(x)!x2, X ^ R, (1)
