Задачи по элементарной физике - Ащеулов С.В.
Скачать (прямая ссылка):
ЗАДАЧА 50
Два бруска с массами т1 и т2, лежащие на гладком столе, соединены невесомой пружиной с коэффициентом жесткости к. Бруски разводят в противоположные стороны, растягивая hjjh этом пружину на величину Al, и одновременно отпускают. Найти основные характеристики движения брусков.
РЕШЕНИЕ
Импульс системы из двух брусков и пружины в момент освобождения брусков равен нулю. На основе закона сохранения импульса Tn1V1 + m2v2 = 0, где V1 и V2 — проекции мгновенных скоростей брусков 1 и 2 на горизонтальную ось. Следовательно, отношение скоростей брусков во времени неизменно: V1IV2 = = — TnJm1 = const. Но если у двух тел скорости пропорциональны друг другу, то с тем же коэффициентом пропорциональны и пути, пройденные телами за любой промежуток времени: T1Ix2 = = — m2lm1 = const, где X1 и X2 — длины путей к произвольному моменту времени, отсчитанные, например, от начального положения.
Последнее соотношение можно переписать так:
X1Tn1 + х2т2 = 0. (1)
Из определения центра масс (см. задачу 23) и равенства (1) следует, что несмотря на движение отдельных элементов, центр масс системы в целом оетается неподвижным. Доказанное утверждение часто приводится в следующей формулировке: „Внутренние силы не могут изменить положение центра масс". Именно эту теорему забыл барон Мюнхгаузен, вытащив самого себя из болота за волосы, да еще с конем впридачу.
При некотором положении грузов натяжение пружины, очевидно, обращается в нуль. Будем под уг и у2 понимать смещения грузов от этих положений; для уг и у2 равенство (1) остается, очевидно, так же справедливым. При этом величина г/х — г/2 есть
80 удлинение пружины по сравнению с нерастянутым состоянием, причем
k{yi-y2) = -F, (2)
где F — натяжение пружины в момент, когда грузы занимают указанные положения.
С учетом равенства (1) можно найти, что
к (г/і + г/1 Tn1Zrn2) = к (1 + Iri1Zm2) y1== — F. (3)
Таким образом, на груз т1 действует сила, пропорциональная его смещению от положения равновесия (когда у1 = 0) и направленная в сторону, противоположную смещению. Аналогичный результат с другим коэффициентом пропорциональности может быть получен и для груза т2. Следовательно, положения, которые занимают грузы в момент, когда пружина нерастянута, являются положениями равновесия этих грузов, причем относительно положений равновесия грузы совершают гармонические колебания (примечание I к задаче 49) с периодом для т1
^=2nVщтк^=2* (4)
Для вычисления периода T2 колебаний груза т2 можно:
1) или выполнить те же выкладки, начиная с соотношения (3) v применительно к грузу т2;
2) или поменять в ответе (4) индексы 1 и 2 местами;
3) или — самое лучшее — сообразить, что грузы могут колебаться только с одинаковыми периодами, T1 — T2.
Амплитуды колебаний A1 и A2 (Язределяются из соотношений A1 + A2 = А/, A1^m1 = А2т2, т. е. A1 = AIm2Zim1 + т2), A2 = = : A Im1Kjn1 + т2).
Заранее не, исключено, что максимально возможное сжатие пружины AZ1 < Al. В этом случае произойдет столкновение брусков через сжавшуюся пружину. Если столкновение упругое, то ход событий будет аналогичен рассмотренному в задаче 48.
З А Д А Ч А 51
Доказать, что силовые линии гравитационного поля не могут пересекаться или касаться друг друга в тех точках, где отсутствуют массивные тела. - •
РЕШЕНИЕ
Напряженность поля тяготения равна отношению силы, которая действует со стороны поля на точечную массу, помещенную в исследуемую точку, к величине этой массы, т. е. равна ускорению силы тяжести в этой
81 точке. Силовыми линиями поля называются линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением напряженности поля в этой точке, а густота линий в любой области пропорциональна величине напряженности поля в этой области. (Густотой силовых линий называется количество линий, проходящих через перпендикулярную к линиям площадку единичной площади.)
Часто, давая понятие „силовой линии", приводят лишь первую часть определения. Это неверно: физический смысл имеет только семейство, совокупность силовых линий, но не отдельная линия. Понятие о семействе линий впервые ввел М. Фарадей.*
Допустим, что в точке А (см. рис. а) силовые линии пересекаются или касаются друг друга. Тогда по мере приближения к точке А силовые линии неограниченно сближаются, т. е. неограниченно увеличивается их густота, а следовательно, и напряженность поля. Из закона всемирного тяготения и принципа суперпозиции следует, что если поле создано конечным числом массивных тел, массы которых ограничены, то нигде вне этих тел напряженность поля не может быть бесконечной. По принципу суперпозиции напряженность суммарного поля есть сумма напряженностей полей отдельных тел, а сумма конечного числа ограниченных величин имеет конечное значение. Это и доказывает утверждение, содержащееся в тексте задачи.
Представление поля в виде картины силовых линий не только очень наглядно, но и позволяет просто получать многие важные результаты. В то же время в самом определении понятия „силовая линия" содержится некий произвол, так как не существует общепринятой единицы для измерения густоты линий. Одно и то же поле (однородное поле на рис. б, например) в зависимости от индивидуального вкуса можно изобразить как частыми, так и редкими линиями. Чтобы устранить эту неопределенность, вводят другую характеристику поля, величина которой пропорциональна густоте линий: поток напряженности через поверхность. Выделим в однородном поле (см. рис, в) плоскую площадку площадью S, перпендикуляр п к которой составляет с направлением напряженности g угол <х. Потоком напряженности через ' эту площадку называют величину Ф = gS cos а.
