Задачи по элементарной физике - Ащеулов С.В.
Скачать (прямая ссылка):
где т (X) — масса шара с радиусом х, т. е. т (х) = Ma?/R3. Подставляя последнее в (1), получим, что
g(x) = yMx/R3 = g0x/R, x^R,
т.е. внутри слоя ускорение меняется прямо пропорционально расстоянию до центра шара (рис. б). Величиїїа g0 есть ускорение силы тяжести на поверхности шара, причем g0 = уМ/R2.
Искомый результат во всей полноте можно быстро получить, применяя закон Гаусса (см. задачу 52). Очевидно, что поле однородного шара обладает сферической симметрией, причем напряженность поля всегда направлена вдоль линии, соединяющей исследуемую точку с центром шара. Опишем из центра шара сферическую поверхность радиусом х. Поток напряженности через ^ эту поверхность Ф (х) = — 4nx2g (х). По закону Гаусса
Следовательно,
( уМ/х2, x^R, g^ = \yMx/R3, x^R.
4JT
yMx3/R3, x^R.
З А Д А Ч А 54
Допустим, что сквозь Землю через ее центр проведен прямолинейный туннель, такой узкий, что можно пренебречь искажением поля тяготения Земли. Докажите, что, если Земля является одно- родным шаром, то период колебаний тела, опущенного без начальной скорости в туннель, совпадает с периодом обращения приземного спутника Земли.
РЕШЕНИЕ
Найдем период обращения приземного спутника, т.е. спутника, высота орбиты которого значительно меньше радиуса Земли R3. Спутник движется под действием единственной силы — веса, следовательно, в соответствии со вторым законом Ньютона mv2IR3 = = mg0, где т — масса спутника; v — его скорость: ga — ускорение силы тяжести у поверхности Земли. Период обращения спутника находим из выражения
Г1 = 2ЯД3/і' = 2яі/ЛЗ7І^.
Рассмотрим движение тела в туннеле. Если тело массы M находится на расстоянии х от центра Земли, то на него действует сила тяготения, определяемая формулой F (х) = Mg0XlR3 (см.задачу 53). Так как F (х)/х = Mg0IR3*= const = = к, то движение тела является гармоническим колебанием вокруг центра Земли, причем период колебаний можно найти из известного соотношения (см. задачу 49): T2 = = 2л (MIk)1I2 = 2л (R3Ig0)1^2. Следовательно, действительно, T1 = T2.
Обратите внимание, что в условиях задачи отсутствует вопрос о величине периодов T1 или T2. Нельзя ли доказать их равенство, не вычисляя самих периодов? Если это удастся сделать, то такое доказательство следует считать более красивым.
Очевидно утверждение: если два тела в некоторый момент времени имеют одинаковые скорости и в дальнейшем движутся с одинаковыми ускорениями, их скорости во все последующие моменты времени совпадают.
Допустим, что тело опущено в туннель AB (см. рисунок) в точке А в тот момент времени, когда спутник пролетает над входом в туннель. Рассмотрим движение проекции спутника на направление AB. В любой точке орбиты на спутник действует сила тяжести, направленная к центру Земли. В направлении, параллельном AB, спутник в положении С движется под действием составляющей силы тяжести F1 = ITig0 cosa = mg0 OC1IR3, где C1 — проекция С на AB. Точка C1 движется по AB с ускорением = = g0 OC1IR3, совпадающим по величине с ускорением тела в туннеле, когда это тело находится в положении C1. Таким образом,
89 скорость тела в туннеле и проекция скорости спутника на направление AB всегда одинаковы, а следовательно, одинаковы и периоды этих движений.
З А Д А Ч А 55
Из Ленинграда сквозь Землю проведены прямолинейные железнодорожные туннели в Москву и Владивосток. Вагон начинает движение в туннеле без начальной скорости. Докажите, что поездка в любой город занимает одно и то же время. Предполагается, что Земля является однородным шаром; силы сопротивления
движению отсутствуют; движение происходит только под действием, силы тяжести.
РЕШЕНИЕ
Пусть отрезок AB изображает туннель (см. рисунок). Рассмотрим силу, действующую на вагон в положении С. Сила притяжения вагона к Земле направлена к центру Земли, причем (См. задачу 53) mg - mg0 ОС/R3-
Проекция величины mg на направление AB определяется выражением F = mg sin а = mg O1CIOC — ¦= mg0 O1CZR3. Так как FiO1C = mg0/R3 = const и не зависит ни от положения вагона в туннеле, ни от расположения самого туннеля относительно центра Земли, то в любом прямолинейном туннеле вагон совершает гармонические колебания вокруг середины туннеля с одним и тем же периодом (см. задачи 49, 54).
З А Д А Ч А 56
Вычислить величину второй космической скорости.
РЕШЕНИЕ
Взаимодействия точечных масс (закон всемирного тяготения) и точечных электрических зарядов (закон Кулона) описываются одинаковыми с точки зрения математики соотношениями. Это означает, что и следствия этих законов одинаковы в указанном смысле.
В частности, гравитационное поле, подобно электростатическому, потенциально, т. е. работа поля при перемещении точечной массы по замкнутому пути равна нулю. Потенциальный характер поля является непосредственным следствием закона всемирного тяготения.
90 По аналогии с электростатикой введем понятие потенциала гравитационного поля; потенциалом данной точки поля назовем такую величину, которая равна работе поля по перемещению единичной точечной массы из данной точки в бесконечность (где потенциал будем считать равным нулю). Потенциал поля точечной массы, или однородного шара, определяется, следовательно, соотношением (ср. с потенциалом поля точечного заряда)
