Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ащеулов С.В. -> "Задачи по элементарной физике" -> 31

Задачи по элементарной физике - Ащеулов С.В.

Ащеулов С.В., Барышев В.А. Задачи по элементарной физике — Ленинград, 1974. — 191 c.
Скачать (прямая ссылка): zadpoelementfiz1974.pdf
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 70 >> Следующая


Если мы имеем дело с неоднородным полем, то при определении Ф площадку S следует выбрать настолько малой, чтобы в ее пределах поле можно было считать однородным, а саму площадку — плоской.

* Д. Максвелл, Речи и статьи, M1-JIlj Гос. изд. техн.-теор, лит,, 1940,

82 Очевидно, что поток через площадку максимален в том случае, когда площадка перпендикулярна к направлению напряженности. Чем больше величина максимального потока, тем гуще в этой области поля силовые линии.

а а





К задаче 51.

Для лучшего понимания смысла введенной характеристики полезно рассмотреть следующий пример из гидродинамики.

Пусть в некотором объеме имеется установившееся течение жидкости. Структуру этого течения можно

83 характеризовать так называемыми линиями тока — линиями, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением скорости жидкости в этой точке (представьте себе, что на рис. в изображены эти линии тока). Величина Фж = vS cos а, где v — скорость жидкости, есть объем жидкости, протекающей в единицу времени через площадку S, расположенную относительно линий тока, как указано на рисунке. Эту величину обычно и называют потоком жидкости через S. Чем больше Фж, тем гуще линии тока (иа рис. г изображено вертикальное сечение струи, вытекающей из водопроводного крана, и нарисованы линии тока).

Рассмотрим поле тяготения точечной массы т (си. рис. д). Окружим массу воображаемой сферой радиусом R с центром в той точке, где находится масса, и подсчитаем поток напряженности через поверхность этой сферы. Для этого разобьем сферу на малые участки, которые можно считать плоскими, вычислим поток через каждый участок, а затем найдем сумму этих потоков. Условимся считать, что перпендикуляр п к каждому из участков направлен изнутри сферы (такое направление перпендикуляра называют внешней нормалью к поверхности). Так как напряженность поля на поверхности постоянна, g = ym/R1, и направлена в сторону, противоположную внешней нормали, поток через сферу Ф = — 4nR2g = — Anym и не зависит от радиуса сферы.

Докажем, что величина потока не зависит и от формы поверхности, внутри которой находится т (в доказательстве ограничимся случаем выпуклой поверхности). Построим произвольную выпуклую поверхность S' (см. рис. д); разобьем ее на столь малые участки, чтобы каждый из них можно было считать плоским, а поле в его пределах — однородным. Пусть AS' — один из участков, внешняя нормаль к которому составляет угол а с направлением напряженности. Поток через этот участок АФ' = g (г) AS" cos а = у (тп/г2) AS' cos а, где г — расстояние участка от массы т. Построим конус с вершиной в т, основанием которого является участок AS'. На поверхности сферы радиуса R этот конус вырезает участок площади AS, причем AS = (Rtr)2AS' | cos а |. Следовательно,

Дф' = _ у (m/r2) (r/R)2 AS = —у (m/R2) AS,

т. е. поток через AS' равен потоку через AS.

Каждому участку поверхности S' можно сопоставить указанным способом участок нашей сферы, поэтому полные потоки через обе поверхности одинаковы. Поместим внутрь замкнутой поверхности любой формы произвольно расположенные точечные массы w1, т2, ..., Jnk. В соответствии с принципом суперпозиции полный поток через эту поверхность

h.

Ф = — 4лу mi-

г = 1

Это утверждение можно обобщить на замкнутую поверхность любой формы (не обязательно выпуклую). Примем это без доказательства.

Докажем, что если внутри поверхности отсутствуют массивные тела, то поток через эту поверхность равен нулю. Как и раньше, достаточно рассмотреть лишь поле точечной массы. Пусть масса т расположена вне поверхности S (см. рис. ё). Построим замкнутую поверхность S1S2 (рис. ж), часть S2 которой совпадает с S за исключением .тонкой „трубки" сечением AS, соединяющей S2 с S1; S1 окружает массу тп. Поток через поверхность S1S2 в пределе при AS -> 0 стремится к потоку через поверхность S1 без „трубки", так как поток через „трубку" стремится к нулю. Следовательно, поток через S2 при AS -> 0 также стремится к нулю. Так как S2 при этом совпадает с S, утверждение доказано.

Итак, поток через произвольную замкнутую поверхность пропорционален с коэффициентом пропорциональности — 4лу массе вещества внутри поверхности. Это утверждение называется законом Гаусса. * Как видно, закон Гаусса не является неким независимым физическим законом — мы получили его как следствие закона всемирного тяготения и принципа суперпозиции для полей тяготения. Однако закон Гаусса не равносилен закону всемирного тяготения, так как последний не является следствием закона Гаусса.

По аналогии с. гидродинамикой массивнке тела, создающие поле, называют источниками поля. Закон Гаусса, таким образом, утверждает1, что поток напряженности через замкнутую поверхность отличен от нуля в том и только в том случае, когда внутри поверхности имеются источники. Аналогичное утверждение для потока жидкости очевидно.

Электростатическое взаимодействие, подобно гравитационному, обратно пропорционально квадрату расстояния между точечными зарядами и подчиняется прин-
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 70 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed