Задачи по элементарной физике - Ащеулов С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, момент отрыва песчинки определяется равенством - 4
Аюъ sin tof0 = g. (3)
76 В этот момент песчинка находится на высоте
Zz0 = A sin coi0 (4)
относительно ее положения при покоящемся камертоне и имеет скорость
V0 = Ao cos Coi0. (5)
Максимальную высоту, на которую, поднимется оторвавшаяся песчинка, найдем из выражения h = h0 + vlUg. Подставляя в последнее соотношение значения tQ,h0 и V0 из формул (3) — (5), получим, что h = g/2co2' + (Л2со)2/2^, откуда
A2 = (1/со) УIgh - (?/со)2«« 0,06 мм.
Песчинки не подскакивают в тех местах, где ускорение не превышает по величине g, т. е.
A1 =s= g/(o2«« 10~3 мм. З А Д А Ч А 48
Математический маятник длиной I, подвешенный у наклонной
от стенки на угол ? и отпускают. Определить период колебаний такого маятника, если стенвд абсолютно упругая, а углы а и ? малы (см. рис. а).
РЕШЕНИЕ
Если ? ^ а, соударений со стенкой нет и можно использовать известную формулу T0 = 2я (Hgyi2. Если ? > а, шарик . абсолютно упруго соударяется со стенкой. Пренебрегая длительностью соударения, воспользуемся аналогией между колебательным движением материальной точки и Движением проекции материальной точки на диаметр при равномерном вращении последней по окружности (рис. б).
При полном обороте точки по окружности ее проекция на диаметр AB совершает одно полное колебание с амплитудой Ri
77 что должно соответствовать амплитуде ?Z исследуемого маятника, т. е. OB = ?f. При движении проекции от О к А на расстоянии OEt равном аI, происходит столкновение, что эквивалентно мгновенному переходу вращающейся точки из С в D, минуя дугу CAD. Полный период таких колебаний, следовательно, равен времени равномерного движения точки из D через В 'в С.
Из тригонометрических соотношений следует, что /_АОС = = LAOD = arccos (EOIOC) = arccos(a/?).
Так как вся дуга окружности .соответствует периоду T0, т. е. T0 2я, а., искомый период T ~ 2я — /,DOC, из пропорции получаем, что
у _ J' 2я —2 arccos (к/?) _ 2Л — arccos (K/?) \
2 JX V л J
З А Д А Ч А 49
Самолет, в кабине которого укреплен математический маятник длиной I, движется с ускорением а. Определить период колебаний маятника.
РЕШЕНИЕ
В равновесном состоянии груз маятника движется с тем же ускорением а, что является результатом действия на груз силы
тд
К задаче 49.
G = Rig притяжения к Земле и силы R0 натяжения нити. На основе закона Ньютона и рис. а получаем, что
яга = mg + R0, \
Rl = m*(a* + g*-2ag cos a).--J ( )
Направление нити маятника при этом совпадает с направлением вектора (а — g).
Пусть маятник (рис. б) выведен из положения равновесия на малый угол ?. При этом натяжение нити изменится и станет равным R= R0 + AR. Динамическое уравнение становится в этом случае таким:
jn(a + Aa) = jng+R«jng+R0+AR, (2)
где Да — ускорение маятника относительно точки подвеса.
/ад ~ Из соотношений .(1) и (2) следует очевидное равенство тДа = = AR. Относительно точки подвеса маятник может двигаться только по окружности радиуса I, в противном случае нить растянется или провиснет. Поэтому в относительном ускорении Aa можно выделить две составляющие: Aa1 — центростремительную и Aa2 — касательную к окружности. Разложив по тем же направлениям вектор AR, получаем, что
AR2 = R0 sin ?. (3)
Так как угол ? мал, sin ? я; ?; кроме того, ? = х/1, где х — линейное смещение маятника. Тогда из (3) находим, что
AR2 = #0? = (mx/l) Va2 + g2 - 2ag cos а. (4)
Из последнего равенства следует, что сила, возвращающая груз в положение равновесия, пропорциональна величине отклонения X от этого положения. Груз начнет совершать гармонические колебания (см. Примечание I к задаче) с периодом
Г = 2л YllVa2 + g2 - 2ag cos а.
Полученный результат содержит особенность: при а = О и a = g знаменатель обращается в нуль, а период стремится к бесконечности. Источник особенности таков: при a = g маятник свободно падает, натяжение нити обращается в нуль, возвращающей силы не возникает. Выведенный из положения равновесия груз либо остается в новом положении относительно системы отсчета, связанной с точкой подвеса, либо движется равномерно относительно точки подвеса по окружности. В обоих случаях колебания отсутствуют.
Примечание I. Если материальная точка массой т находится в положении устойчивого равновесия, а при ее отклонении от этого положения на величину X возникает такая возвращающая сила F, что F = — вх, где в — коэффициент пропорциональности, причем в > 0, то рассматриваемая материальная точка, будучи выведенной из положения равновесия и предоставленной самой себе, станет совершать гармонические колебания, причем период T этих, так называемых свободных, колебаний окажется равным 2л (т/к) V2.
Пр имечание II. Период свободных колебаний является объективной характеристикой систем' определенного типа (например, указанных в примечании I), существующей вне зависимости от того, действительно ли система находится в состоянии колебательного
79 движения или пребывает в покое. Поверхностная аналогия — электростатический потенциал. Он определяется через работу, совершаемую силами поля и т. д., но характеризует любую точку этого поля независимо от того, была ли совершена такая работа в действительности или только может быть совершена в принципе.
