Задачи по элементарной физике - Ащеулов С.В.
Скачать (прямая ссылка):
68Школьник предложил другой подход к этой задаче. Пусть движение цепочки уже установилось и происходит со скоростью 1?. За время At часть цепочки длиной Al = VlAt вовлечена в движение, т. е. приобрела кинетическую энергию AT = |іі>? At/2, а, кроме того, точно такая же часть цепочки „перешла" со стола на пол, т. е. потенциальная энергия цепочки уменьшилась на величину AU= IXvi^ghAt. Тогда по закону сохранения энергии AT = = AU и vf = 2gh.
Этот результат отличается от полученного выше и несправедлив, так как закон сохранения механической энергии в том виде, как -его использовал школьник, в данном случае неприменим. Поясним это утверждение.
Вблизи точки В происходит „рывок", т. е. покоившийся элемент цепочки должен практически мгновенно приобрести конечную скорость, что приводит к деформации этого элемента. Если деформация пластическая, то цепочка нагревается (что и имеет место в реальных условиях); если цепочка абсолютно упруга, то деформация приводит к возникновению в цепочке упругих продольных колебаний (попеременное сжатие и растяжение цепочки). В обоих случаях деформация связана с расходом энергии.
З А Д А Ч А 43
На краю прямоугольного обрыва высотой h лежит однородный шар радиусом R. В исходном положении шар находится в состоянии неустойчивого равновесия, т. е. центр шара лежит над краем
CL „ S в
обрыва (см. рис. я). Определить место падения шара на Землю, если его вывести из состояния равновесия. Трение между шаром и обрывом отсутствует.
Выражение „тело выведено из" состояния равновесия" обычно означает, что тело смещено из состояния равновесия на малую величину и начинает движение из этого положения с нулевой начальной скоростью.
РЕШЕНИЕ
Рассмотрим движение шара в положении, указанном на рис. б. На шар действуют только две силы: сила тяжести. G и реакция опоры Q, причем сила Q направлена к центру шара. Плечи этих
69сил относительно центра шара (который по условию является центром масс) равны нулю, а значит, шар движется поступательно, т. е. является в условиях нашей задачи материальной точкой (см. задачу 28).
Для наглядности на рис. а, б изображено это поступательное движение. На шаре нарисованы полоски из точек, как на детском мячике. При движении шара каждая полоска перемещается, оставаясь в плоскости, параллельной исходной.
Из второго закона Ньютона следует, что вплоть до момента отрыва шара от края обрыва справедливо соотношение G cos а — — Q = Uiv1IR, где т — масса шара; v — его скорость в рассматриваемом положении. Величину скорости можно определить исходя из закона сохранения энергии: GR (1 — cosa) = mv1!2, где величина R (1 — cos а) равна высоте, на которую опустился шар по сравнению с исходным положением. Сравнивая выписанные уравнения, находим, что
v = V2gR(G-Q)/3G, cos a = (2G + Q)/3G.
Шар отрывается в тот момент, когда он перестает давить на край обрыва. Полагая в соотношениях (1) Q = 0, находим скорость шара в этот момент: v0 = (2gRI3)V2, высоту нижней точки шара над Землей: h0 = h — Rl3 и угол наклона вектора скорости к горизонту а0, причем cos а0 = 2/3. При этом, разумеется, б^дем считать, что h> Rl3. После этого остается решить простую кинематическую задачу. Если X0 — искомое расстояние точки падения от края обрыва, то ответ имеет вид
Уточним одно использованное в решении условие. Почему, собственно, сила давления перпендикулярна к поверхности шара, а не направлена как-то по другому? Для ответа на этот вопрос прежде всего дадим необходимые определения.
Пусть выпуклые тела А и В находятся в непосредственном механическом контакте (рис. в). При этом на тело А со стороны тела В действует сила F^."Из-за деформации тел их контакт осуществляется не в точке касания О, а по малой площадке, окружающей точку О. В силу малости площадку можно считать плоской.
Проведем нормаль к площадке и разложим полную силу Fa на составляющие: Fn по направлению нормали и Fi, лежащую в плоскости площадки. По определению Fn называется силой нормального давления, Fi — силой трения. Иными словами, сила трения является лежащей в плоскости соприкосновения составляющей силы взаимодействия соприкасающихся тел.
70При соприкосновении шара и края обрыва плоскость соприкосновения на первый взгляд не определена. Однако следует учесть, что идеальный угол — это геометрическая абстракция; у реальных тел острая кромка или острие является частью цилиндра или сферы малых радиусов. Отсюда и следует указанное в решении задачи направление силы нормального давления.
З А Д А Ч А 44
Как будет двигаться сфера и материальная точка в условиях задачи 32, если коэффициент трения между сферой и подставкой таков, что сфера не скользит по подставке, пока давит на нее?
РЕШЕНИЕ
Рассмотрим сначала силы, действующие на сферу, когда масса находится в точке M (см. рис. а). Так как сумма моментов этих сил равна нулю относительно центра сферы, то F' = Тогда очевидно, что если в какой-то момент времени сила давления Q' массы на сферу обращается в нуль, то исчезают и все остальные силы.