Задачи по элементарной физике - Ащеулов С.В.
Скачать (прямая ссылка):
AT11 = (11)2/2 _ (Ю)2/2 = 21/2, A T2 = (16)2/2 - (15)2/2 = 31/2.
Следовательно, у второй ракеты кинетическая энергия увеличилась на большее значение, чем у первой. Не противоречит ли это закону сохранения энергии? Ведь обе ракеты израсходовали на увеличение скорости одно и то же количество топлива с одинаковой теплотворной способностью.
РЕШЕНИЕ
Нет, не противоречит. Топливо второй ракеты обладает большей кинетической энергией, чем топливо первой ракеты, и при сгорании уменьшает свою кинетическую энергию на большую величину, чем топливо первой ракеты.
Введем обозначения: Am — количество топлива, сгоревшего в ракете за малое время; и — скорость ракеты относительно Земли; Au — приращение скорости ракеты в результате сгорания этого количества топлива; v — скорость выброса продуктов горения топлива относительно ракеты; Q — тепловая энергия, содержащаяся в Am топлива.
66 Будем считать для простоты, что вся тепловая энергия Q топлива переходит в кинетическую энергию продуктов горения и ракеты. Учтем, что скорость выброшенных продуктов горения относительно Земли равна и — v. На основе закона сохранения энергии
ти2/2 + Q = (m- Am) (и + Аи)2/2 + Am (и — v)2/2. (1)
Приращения AT кинетических энергий ракет и продуктов сгорания составляют соответственно
AT'ui = (m — Am)(uh2 + Auh2)2/2-(m — Am) и\л/2,
АТ'їд = Am (и1Л — v)2j2 — Amul^/2. ^
Из соотношений (1) и (2) следует, что ATr1^ ~Ь = Q.
Таким образом, суммарный прирост кинетической энергии системы равен количеству теплоты в топливе. Используя закон сохранения импульса (m — Am) Au = Amv, нетрудно найти, что
Q = т (Аи1л)2/2 - Am [(Am1i2)2 - v2]/2,
т. е. суммарный прирост кинетической энергии системы ракета — топливо не зависит от начальной скорости ракеты.
Дотошный читатель может спросить, логично ли это — опровергать нарушение закона сохранения, опираясь на сам этот закон. Не напоминает ли это чеховское „этого не может быть, потому что этого не может быть никогда"? Да, внешне напоминает, но все нее наши рассуждения логичны. Первоначальный нелепый вывод в задаче возник лишь потому, что закон сохранения был использован неправильно. Стоило же учесть все слагаемые энергии системы — и недоразумение выяснилось.
И еще одно замечание. Если события, изложенные в задаче, рассматривались бы в разных системах отсчета, каждая из которых двигалась вместе с соответствующей ракетой до включения двигателя, противоречия вообще не возникло бы: в собственной системе каждая ракета увеличила бы скорость от 0 до 1 км/о за счет сгорания одного и того же количества топлива. Сравнивать же события между собой было бы нельзя: кинетичаская энергия относительна (т. е. ее величина зависит от системы отсчета), поэтому при применении закона сохранения энергии все расчеты следует проводить для одной и той же системы отсчета.
З А Д А Ч А 42
Тонкая нерастяжимая цепочка с пренебрежимо малыми кольцами перекинута через неподвижный блок. Свешивающиеся с блока части цепочки лежат на столе и на полу, причем часть*
3*
67 находящаяся на столе, достаточно длинная и уложена в малую бухту вокруг точки В (отрезок BB1 вертикален). Найти скорость установившегося движения висящей части цепочки, если стол находится на высоте h над полом (см. рисунок).
РЕШЕНИЕ
Сначала, разумеется, нужно убедиться в том, что движение действительно устанавливается.
Для удобства введем следующие обозначения: fx — масса единицы "длины цепочки, I — длина части ADB цепочки, Fa и
Fb — натяжения цепочки в точках А и В.
Пусть в момент времени t цепочка движется со скоростью v и ускорением а, которые для определенности будем считать направленными от А к С.
На основе второго и третьего законов Ньютона для отрезков AC и AB цепочки можно записать Jigh —Fa =Iiah, \ Fa-Fb =Iial. } (1)
Из этих уравнений Fb = \ih (g — //////////////// — а) — \>.al. Рассмотрим интерьал К задаче 42. времени от t до t + At, настолько
малый, что скорость движения можно было бы считать постоянной. За время At в движение вовлечен отрезок цепочки длиной AI = vAt, который в момент t лежал на столе. В момент t + At этот отрезок имеет количество движения, равное величине v\iAl = \iv2At. По второму закону Ньютона это количество движения равно импульсу действующей силы, т. е. Fb At = Jxy2At. Сравнивая последнее выражение с формулой (1), находим, что
V2 = h(g — a) — al. (2)
Допустим теперь, что ускорение цепочки с течением времени увеличивается. 'Очевидно, что при этом должна увеличиваться й скорость цепочки (напоминаем, что направления ускорения и 'скорости приняты совпадающими). Однако это противоречит соотношению (2). Следовательно, ускорение цепочки может только уменьшаться. Поскольку скорость при этом продолжает возрастать, то движение устанавливается только по мере приближения вёличины ускорения к нулю, т. е., как следует из (2), при скорости V0 такой, что
Vl = WmV1 = gh. (3)
О->0
Подобным же образом можно исследовать другие варианты движения цепочки в начальный момент времени и убедиться, что наш результат (3) справедлив всегда.
