Задачи по элементарной физике - Ащеулов С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Какова должна быть масса второго шара т2 (массы т1 и т3 заданы), чтобы скорость третьего шара была максимальна при данной скорости V0I
РЕШЕНИЕ
Исследуем столкновение первого шара со вторым. Из законов сохранения импульса и энергии следует, что
m1v0 = m1v1-\-m2v2, TnlVsJ 2 = Tn1Vyi тгиЦ2,
где V1 и v2 — скорости первого и второго шаров после столкновения. Преобразуем систему уравнений к виду
Tn1(V0-V1) = TTl2V2, mI (vO — V1) (V0 + V1) = Tn2V2.
60 Отсюда найдем решения
a) V1 = V0, V2 = O;
б)
H1—т2
Ъщ
mj + m^ Tn1^m2
Два решения получены, потому что использованные в задаче законы сохранения „не знают", было ли вообще столкновение. Первый ответ описывает события до столкновения и должен быть отброшен, как не решающий поставленную задачу.
Заметим, что это обычный результат при расчетах, опирающихся только на законы сохранения: направление, ход процесса эти законы не указывают. Надо пользоваться дополнительными соображениями. Например, разве закон сохранения энергии запрещает весомому телу неподвижно висеть над земной поверхностью без всяких опор и подвесок? Не запрещает. Энергия такого тела сохраняется.
Остается второе решение.
Аналогичный расчет для второго соударения приводит к следующему выражению для скорости третьего шара:
2m2v2 Am1Ki2V0 __Am1U0
3 m3 + m2 (тг-}-т2) (тоа + тз) mI + 'ns + т2 ^m1In3/т2'
В последнем выражении числитель постоянен, следовательно, максимум дроби соответствует минимуму знаменателя. В свою очередь первые два слагаемых в знаменателе постоянны, и поиск максимального значения V3 сводится к отыскиванию минимального значения выражения т2 + тхт3/т2. Последнее перепишем в виде (пцт^У12 [m2l (In1In3)1/2 + + (In1In3)1^Zm2], что позволяет, воспользовавшись соотношением (х + 1 /х) S= 2 при X > 0 (см. примечание к задаче 15), найти, что искомый минимум достигается при пг2=(пг1пг3)1'2.
ЗАДАЧА 36 » г
Пуля массой т, летящая горизонтально со скоростью v, попадает в ящик с песком массой М, жестко связанный с невесомым шестом длиной I, и застревает в нем. Шест может
вращаться вокруг горизонтальной оси О, перпендикулярной к направлению скорости пули (см. рисунок). Определить максимальный угол отклонения шеста от вертикали. Размером ящика пренебречь.
M
К задаче 36.
61 РЕШЕНИЕ
На основе закона сохранения импульса mv = (т + М) V, где V — начальная скорость движения ящика с застрявшей пулей. В крайнем положении ящика его скорость обратится в нуль, и, следовательно, по закону сохранения энергии (т + М) V212 = = (т + М) gH, где H — высота подъема ящика. Из чертежа следует также соотношение I cos a = I — Н, где а — искомый угол. Решая выписанные уравнения относительно величины cos а, получаем, что
cos а = 1 — 2 (т + M)2 gl.
Обычно на этом решение заканчивают, не обращая внимания на такую возможность:
m2v2l2(m + M)2gl>2, и, следовательно, j cos а | > 1.
В математической задаче достаточно требовать выполнения неравенства
m2v2 12 (т + М)2 gl ^ 2,
определяя тем самым область допустимых значений параметров т., v, M и I.
В физической же задаче необходимо разобраться, почему возникла нелепость и какие реальные события стоят за этим, как понимать отсутствие решения. Анализ должен проводиться лишь в рамках тех соотношений, которые были использованы в решении, никаких посторонних, не рассматривавшихся явлений (типа „шест разрывается", „ящик ударяется о потолок" и т. д.) привлекать к объяснению нельзя.
В нашем случае член m2v2l2 (т + M)2 gl растет с ростом т и v. Растет тогда и а. Легко догадаться, что при определенных условиях а станет больше я, и ящик начнет двигаться без остановки по окружности в вертикальной плоскости. Искомого угла а в таком случае просто не существует. Мы искали то, чего нет. Отсюда и особенность в решении. Окончательный ответ:
. m2v2 to2i?2 _ .
Cosa = I-Tr;—, ,, при —і 4.
2(m-\-M)2gl, ґ (то+ M)2 gl
Если последнее неравенство не выполняется, ящик придет в круговое движение.
Следует заметить, что если в формулировке задачи вместо шеста будет дан канат, наше решение станет несправедливым уже при т?1?1(т + M)2 gl > 2, т. е. когда вычисляемый по формуле угол а превышает я/2 (почему?).
62 . ЗАДАЧА 37
При включенном двигателе ракета весом G неподвижно висит над поверхностью Земли. Определить мощность N двигателя в это время, если газы выбрасываются из сопла в вертикальном направлении со скоростью v.
РЕШЕНИЕ
Ракета неподвижна, ее кинетическая и потенциальная энергии не меняются, следовательно, вся работа двигателя затрачивается на сообщение кинетической энергии выбрасываемым газам.
Пусть за время At двигателем совершена работа AA и выброшена масса газа Ат, которую будем считать малой по сравнению с массой ракеты. По определению N = AA/At, а кинетическая энергия газов AA = Amv1II. Так как ракета висит неподвижно, то сила, действующая со стороны газов на ракету, равна ее весу. На основе второго и третьего законов Ньютона для выбрасываемых газов GAt = Amv. Из этих уравнений находим, что N =
