Задачи по элементарной физике - Ащеулов С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим силы, действующие на материальную точку (рис. б). По третьему закону Ньютона F = — F', Q= — Q'. Пока сфера не скользит по подставке, материальная точка в любой момент времени движется так, как если бы она вращалась вокруг точки O1 — мгновенного центра вращения. Следовательно, в соответствии со вторым законом Ньютона для атого необходимо, чтобы сумма действующих на точку M сил обеспечила необходимое центростремительное ускорение, т. е. чтобы
Mv2 ,. a а р . а
—— = Mg cos Q cos — F sin , (1)
где г = O1M.
Скорость массы M в этот момент времени определяется законом сохранения энергии, т. е.
MviII = MgR (1 - cos а). (2)
Учитывая, что г = 2R cos (а/2), и полагая Q = F = 0, из выражений (1) и (2) получаем, что масса M перестает давить на сферу при выполнении условия cos (а/2) = (2/3)1/2. Следовательно, движение наших тел происходит следующим образом:
К задаче 44.
711) в течение некоторого времени после начального момента сфера катится без проскальзывания по подставке, а материальная точка движется по циклоиде;
2) в момент, когда радиус, проведенный из центра сферы в материальную точку, составит с вертикалью угол а0 тако^, что cos (а0/2) = (2/3)1/2, материальная точка и сфера перестают взаимодействовать; одновременно прекращается взаимодействие сферы с подставкой; после этого материальная точка движется только под действием силы тяжести, т. е. по параболе, а сфера, поворачиваясь, скользит по подставке;
3) через некоторое время материальная точка падает на подставку, причем, если это столкновение упруго, в дальнейшем материальная точка будет прыгать по подставке, одновременно перемещаясь вдоль нее.
З А Д А Ч А 45
С какой силой T натянут трос AB, если на системы шарпирно скрепленных стержней действует груз весом G (см. рис. а, б)? Стержни BF и EA — сплошные с шарниром в центре; AC = CB = = BD = DA = DF = DE = EI = FI.
РЕШЕНИЕ
1-й с її о с о б: (для рис. а). Разложим вес G по направлениям DA и DB (рис. в): F1 = F2 = G12 cos а. Силы F1 и F2 перенесем вдоль по линиям их действия в точки Л и В и, в свою очередь,
разложим на вертикальные (F1b, F2b) и горизонтальные (Flr, F2t) составляющие. Горизонтальные составляющие и определяют натяжение каната, т. е.
T=F2r = F2 sin а = (Gl2) tg а.
При а -*'п/2 T -> оо, т. е. никакой канат не выдержит такой нагрузки. Наоборот, при а О T-* 0. Последним обстоятель-
72ством часто пользуются для создания подъемных механизмов, где малой силой T можно поднимать большой груз G.
2-й способ. На первый взгляд все предыдущие выкладки должны сохраняться в силе и в случае б, так как в конечном итоге вес G передается системой верхних стержней в точку D. Однако такой подход не учитывает внутренних сил в системе стержней. Сделать это не очень сложно, но мы воспользуемся иным весьма полезным методом расчета.
Из простейших геометрических соображений следует, что если при укорачивании каната AB на АI груз G в системе, изображенной на рис. а, поднимается на Ah, то для случая, представленного на рис, б, высота подъема составит 2Аh. В обоих случаях при укорачивании каната придется совершать работу на пути Al силой, равной натяжению каната. Так как в случае б результат работы, т. е. изменение потенциальной энергии груза G, оказывается вдвое большим, то и натяжение каната в случае б вдвое превышает натяжение каната в случае а.
На тележку опирается укрепленный шарнирно в точке А диск массой т (см. рис. а). Диск может вращаться вокруг А в плоскости рисунка. Какую горизонтальную силу F0 надо приложить
к тележке, чтобы сдвинуть ее с места, если коэффициент трения между диском и тележкой равен /, угол между радиусами OB и OA равен ф (0 sg ф sg 2я)?
РЕШЕНИЕ
Пусть мы пытаемся сдвинуть тележку вправо. Нам препятствует сила трения со стороны диска, направленная, естественно, влево. При этом в соответствии с третьим законом Ньютона на
ЗАДАЧА 46
К задаче 46.
73диск со стороны тележки действует сила F, равная силе трения и направленная как указано на рисунке. Кроме того, на диск действуют сила тяжести G, нормальная реакция опоры Q и некоторая сила R со стороны шарнира.
Так как диск неподвижен, сумма моментов всех сил, действующих на него, равна нулю. Вычисляя моменты относительно точки А, получаем, что
Grsintp+ ^ (г — г costp) — (?r sintp = О, (1)
где г — радиус диска.
Легко убедиться, что если тележку пытаться сдвинуть влево, уравнение моментов получится из уравнения (1) простой заменой tp на — ф (или на 2л; — ф). Поэтому отдельно этот случай рассматривать не нужно.
Когда тележка придет в движение, сила трения F станет равной fQ, и, следовательно, выражение (1) примет вид
mg sin ф — F (1 — cos ф) — F sin ф// = О, откуда искомая сила F0 определится выражением
17 ztt Sin ф т
F0^F =THg-і-r-J—т;—Г. (2)
" ° COS ф + Sin ф// — 1 v '
Полученное выражение содержит несколько особенностей:
1) знаменатель может обратиться в нуль;
2) дробь может стать неопределенной (вида О/О).
Как уже говорилось (см. задачу 36), в таких случаях необходимо указать физические причины появления особенности. Сделаем это.