Задачи по элементарной физике - Ащеулов С.В.
Скачать (прямая ссылка):
РЕШЕНИЕ
У плавающего на поверхности жидкости тела, выполненного из однородного по плотности вещества, центр тяжести всегда лежит выше точки приложения выталкивающей силы. (Почему?) В равно-
98 - "весном положении эти точки должны находиться на одной вертикали. Пусть спичка опущена в воду в вертикальном положении и, предоставленная самой себе, отклонилась из этого положения на малый угол (рис. а). Из рисунка видно, что момент пары сил (веса mg и выталкивающей силы Fa1 mg = — Fa) стремится повернуть спичку от исходного положения равновесия; следовательно, это положение неустойчиво.
На рис. б изображена спичка, отклонившаяся на малый угол а от горизонтального положения. Здесь уже существенно изменение формы погруженной части, чего мы не учитывали в случае а, и вызванное этим смещение относительно спички точки приложения выталкивающей силы. Изменение формы погруженной части вызвано прибавлением к первоначально погруженному объему (т. е. к CDEI) объема BCO и вычитанием объема OFI. Как следует
из рис. б, пара сил mg и Fa стремится увеличить отклонение, а пара сил F1 и F2 — вернуть спичку в первоначальное положение. Из рисунка же видно:
1. Плечи сил Fa и mg относительно точки О пропорциональны аа, сами силы пропорциональны а21 (где I — длина спички; а — ее толщина и ширина). Момент этой пары, следовательно, пропорционален а31а.
2. Плечи сил F1 и F2 равны приблизительно 1/3 каждое, сами силы пропорциональны площадям соответствующих треугольников, т. е. пропорциональны //2 • /os/2. Следует еще учесть, что толщина спички а, следовательно, момент пары сил F1 и F2 пропорциональны аРа.
Если I > а, то тем более P^ а2, и момент второй пары сил полностью определяет устойчивость равновесия, возвращая спичку в исходное горизонтальное положение. Равновесие устойчиво.
Изменение формы погруженной части при изменении положения плавающего тела требует особенно тщательного учета в судостроении, так как является основным фактором, обеспечивающим устойчивость судна на воде.
4. 09
W
E
К задаче 63.ЗАДАЧА 64
Тонкий, изготовленный из неоднородного по плотности материала стержень длиной I с поперечным сечением S и массой т плавает в наклонном положении, так как к одному его концу привязан тяжелый груз, лежащий на дне сосуда. Где расположен центр тяжести стержня и какая его часть торчит над водой, если нить натянута с силой T (см. рисунок)?
РЕШЕНИЕ
Пусть над водой торчит Mn часть стержня, а центр тяжести расположен на расстоянии х от верхнего конца.
Задача имеет смысл, если средняя плотность стержня р,
равная m/IS, меньше плотности воды р0, т. е. р/ P0 < 1.
Из условий равновесия стержня следует, что
mg + T = FA,
mg (1-х) = FaI (п — 1 )/2п,
(1)
где Fa — выталкивающая сила Архимеда, приложенная в середине погруженной части стержня, К задаче 64. а моменты сил mg и Fa вычис-
лены относительно нижнего конца стержня. Второе из выражений (1) имеет смысл лишь для наклонно плавающего стержня. По закону Архимеда
^a =P0^ (п-1)/п. Из выражений (1) и (2) следует, что
п \ mg J P0 '
-'M1
JL
2ро
(2)
(3)
Так как из задачи следует, что обе эти величины положительны, то из уравнений (3) находим, что решение имеет смысл при выполнении условий
T + mg =S= ^Amax, ЄСЛИ р < р0 < 2р, T+ mg с ^Amax V 2р/р0, если р0>2р,
где ^Amax — значение выталкивающей силы при полностью погруженном стержне, ^Amax = mgpJ P-
З А Д А Ч А 65
Цилиндрический сосуд без дна и с цилиндрическим горлом надет сверху на неподвижный поршень сечением S (см. рисунок). Полный вес сосуда G, его высота Н, сечение горла s, высота горла к.
100Что произойдет с сосудом, если в него налить жидкость плотностью р в количестве F? Высота поршня над опорой достаточно велика.
РЕШЕНИЕ
По мере наливания жидкости давление р в тонком ее слое между поршнем и верхним .основанием широкого цилиндра будет расти. Сила этого давления на верхнее основание может стать равной весу сосуда, и тогда сосуд начнет подниматься вверх. При этом уровень жидкости ъ горле остается постоянным, а объем вновь наливаемой жидкости будет равен увеличению объема, ограниченного поршнем и верхним основанием сосуда.
Высота h0 жидкости в горле, при которой сила гидростатического давления станет равной весу сосуда, определяется уравнением h0 рg (S — s) = G. Очевидно, что если эта высота превышает высоту горла, сосуд остается неподвижным. То же самое будет происходить, если заданного объема жидкости V не хватит для заполнения горла до высоты h0. Если же
777777777777777777777777777777/, К задаче 65.
Gl pg (S - 8) < h и h9S < V, то сосуд начнет подниматься.
Высота подъема сосуда зависит от объема жидкости. Если V Ii0S + HS, т. е. жидкости хватит лишь на заполнение горла до высоты h0 и части сосуда, то сосуд поднимется на высоту H0 = = (V — h0S)/S. Если V > h0S 4- HS, то сосуд поднимется над поршнем на высоту H0 = H, а избыток жидкости AF = V — h0s — HS выльется через щель между-поршнем и приподнявшимся сосудом. В это время возможно опрокидывание сосуда.