Задачи по элементарной физике - Ащеулов С.В.
Скачать (прямая ссылка):
104 * Горизонтальная проекция „архимедовой" силы, действующей на весь шарик, направлена к оси вращения (это следует из соображений симметрии) и определяется соотношением
Fr = AmiW2Xi = CO^ AmlXi = со 2хМ, і і
где X — координата центра масс шарика (см. задачу 23); M =--= pF — масса шара; F — его объем.
Таким образом, горизонтальная составляющая „архимедовой" силы приложена к центру масс нашего объема жидкости (к слову, приведенное доказательство справедливо не только для шара, но и для объема произвольной формы).
Во избежание недоразумений еще раз поясним смысл выражения „сила приложена к такой-то точке тела". Это означает, что под действием рассматриваемой силы тело движется так, как если бы вся масса тела была сосредоточена в этой точке, а сила приложена к ней. В действительности точка реального приложения силы может быть совсем другой или даже вообще отсутствовать: в частности, в нашей задаче „архимедова" сила является результатом давления жидкости на всю поверхность шарика.
Из Второго закона Ньютона для муфты следует, что ^V + Fn = тт2х,
(1)
где Fn = кАх — проекция силы натяжения пружины на ось OX, причем Ax = X — г — Z0. Учитывая направления проекций сил, из (1) находим, что F раа2х + к (х — г — Z0) = mw2x, откуда X = к (г + 10)/[к — со2 (т — Fp)].
Решение справедливо при условии, что к > со2 (т.— Fp), ибо только в этом случае муфта при вращении не касается стенок сосуда. Выполнение обратного неравенства означает, что пружина слабая и не способна удержать муфту внутри жидкости. При этом муфта в зависимости от ее плотности сместится к одному из концов стержня.
З А Д А Ч А 69
Внутри цилиндра, вращающегося с постоянной угловой скоростью, стоит свеча (см. рисунок). Отклонено ли пламя свечи от вертикали и в какую
сторону? К задаче 69.
105 РЕШЕНИЕ
Внутри вращающегося цилиндра (воздух в нем также вращается) возникает дополнительная „архимедова" сила (см. задачу 68), направленная по горизонтали вдоль радиуса цилиндра к оси вращения. Так как пламя свечи легче окружающего воздуха, эта сила способна сообщить пламени большее центростремительное ускорение, чем такому же объему воздуха. Поэтому пламя отклоняется к оси вращения цилиндра.
Часто вызывает затруднение вопрос: „Как мы узнали, что пламя легче воздуха?" Ответ очевиден: пламя поднимается вверх.
ЗАДАЧА 70
Сосуд с ртутью равномерно вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью to. Поверхность ртути принимает при этом вогнутую форму и используется как зеркало. Определить фокусное расстояние этого зеркала.
Указания: 1. Парабола есть геометрическое место точек, равноудаленных от некоторой точки (фокуса) и прямой линии (директрисы). 2. Параллельные лучи, падающие на параболическое зеркало параллельно его оси, после отражения от зеркала пересекаются в его фокусе.
РЕШЕНИЕ
Рассмотрим небольшой объем ртути М, находящийся у поверхности (см. рисунок, на котором OO' — ось вращения; M — положение выделенного объема). Действующие на него силы, а именно вес G и „архимедова" сила Fa (см. задачи 59,68), таковы, что в сумме создают центростремительную силу F. Сила Fa при установившемся вращении направлена перпендикулярно поверхности жидкости. Следовательно,
G ctg a = Inv2IR = ma2R, (1)^
где т — масса выделенного объема; v — его скорость; R — расстояние объема от оси вращения, R = ОМ. (Объем выбран настолько малым, что его можно считать материальной точкой.)
Вертикальный луч света, падающий на поверхность ртути в точке М, после отражения от поверхности пойдет вдоль MF, где ZmFMA' = а, и пересечет ось вращения в точке F. Покажем, что точка F является фокусом получающегося зеркала.
Построим отрезок MD такой, что MD || OO' и MD = MF. Через точку D проведем линию DC так, что DC _L OO'. Нетрудно видеть, что FC = CD Xg а, или по (1) FC = gl а2, т. е. расстояние FC не зависит от расстояния R нашего объема от оси вращения.
Построим параболу, для которой точка F является фокусом, а линия CD — директрисой. Вершина этой параболы располо-
106 что для любого объема у поверхности построенного параболоида вращения выполняется второй закон Ньютона в форме (1). Следовательно, построенный параболоид является искомой поверхностью ртути в сосуде, а фокусное расстояние нашего зеркала
f =* AF=* а2со2.
ЗАДАЧА 71
Требуется подсчитать, насколько изменится температура Земли, если на нее упадет Луна. (Пусть кому-то удалось затормозить Луну на ее орбите, так что Луна с нулевой начальной скоростью начала падать на Землю.)
Масса Луны примерно в 80 раз меньше массы Земли. Удельную теплоемкость вещества Земли и Луны принять равной 1 кал/кг-град (в системе СИ — 4,2-IO3 Дж/кг-град).
РЕШЕНИЕ
Решим задачу при следующих условиях.
1. Будем считать, что Луна находится достаточно далеко от Земли, так что скорость ее падения на Землю близка ко второй космической скорости.
107 2. Столкновение будем считать абсолютно неупругим (т. е. скорости планет после столкновения примем равными).
3. Пренебрежем возможной теплоотдачей в окружающее космическое пространство в форме излучения.
