Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство легко усмотреть в формуле (III. 42 б) и рис.8. К доказательству теоремы можно придти также, анализируя локальное ускорение
ex(l - P + A-f -j-ptf)
10 -----' -
2^ j/i-^-a-? + *)
f yI
частицы с нулевым угловым моментом. В противоположность скорости, которая положительна, если частица удаляется, и отрицательна, если частица приближается к центру, знак локального ускорения не зависит от направления движения, но зависит от места положения частицы в данный момент. В случае, когда ?=lt ускорение равно нулю в центре, в остальных же точках траектории отлично от нуля и направлено к центру. Если же р>1,то ускорение, согласно определению 10, равно нулю на критической гиперповерхности, отлично от нуля и направлено к центру в точках г > гс% и направлено от центра в точках г < гс .
Локальная скорость частицы с нулевым угловым моментом имеет наибольшее значение на критической гиперповерхности и всегда меньше единицы (т. е. меньше скорости света в этой же точке). Пробная частица, помещенная в точку критической гиперповерхности с начальной нулевой скоростью, остается на критической гиперповерхности. Помещенная же в точкег<гс частица выбрасывается за критическую сферу. В дальнейшем она либо осциллирует, либо совсем покидает область гравитационного взаимодействия ее с источником.
Теорема 51. Распространяющийся строго радиально луч света за конечное время достигает сингулярную мировую линию центра, но частота света при этом стремится к нулю по закону
[—з— l"2 И?-D J '
Доказательство. Положим в (III. 40 а) q—0 и Ь=0. Так как функция ех конечна и непрерывна в области ц(г)>0, то нн-
216* теграл в правой части (III. 40 а) также конечен на любом конечном отрезке [гь г2], не содержащем центра. Поэтому достаточно проинтегрировать его на конечном отрезке [го, г], где г0 — радиальная координата центра, а г — координата события, принадлежащего полости:
1^,-^-.,,-0,,?!!).
Следовательно, координатное время распространения света от центра до любой конечной точки конечно.
Используя метрику (111.33)-(111.35) и теорему 43, легко получить закон изменения
_ _^o_
l/l f JL(p-l)
частоты света вдоль луча внутри полости, из которого и следует стремление частоты к нулю с приближением луча к центру, если p>i.
Теорема 52. В области мира между мировой линиеи центра и критической гиперповерхностью лучи света и движение свободных пробных частиц имеют характер рассеяния на сингулярном
Рис. 9- Окружность—линия сечения критической гиперповерхности координатными плос-
костями X = const,
—; событие О 2
се-
чение мировой линии центра гравитирующего тела плоскостью х° — const; кривые -траектории свободных пробных частиц, или л\чм света; b—угловой момент частицы, или прицельный параметр луча; угол Acp всегда меньше п и стремится к нулю, когда ?->0.
центре (рис. 9). Ни одна изотропная геодезическая с отличным от нуля прицельным параметром, или временноподобная геодезическая не имеют общих событий с мировой линией центра. На каждой траектории или световом луче имеется точка поворота, радиальная координата которой минимальна для данной линии и зависит от энергии и углового момента частицы или прицельного параметра луча. С уменьшением углового момента или прицельного параметра точка поворота перемещается в направлении центра так, что она стремится к точке поворота радиальной траектории при стремлении углового момента частицы к нулю, а при стремлении прицельного параметра луча к нулю приближа-
217* «тся к центру медленнее, чем прицельный параметр к нулю. Каждый луч и каждая траектория после пересечения критической гиперповерхности во внутрь отклоняются от мировой линии центра и снова пересекают критическую гиперповерхность вовне, при этом приращение «следящего» угла всегда меньше я и стремится к нулю, когда стремятся к нулю угловой момент или прицельный параметр.
Доказательство. Существование точек поворота на траекториях частиц и их поведение с изменением b следует из формулы (III. 42 6). На изотропных геодезических точки поворота находятся из условия обращения в нуль величины (-gji)) » получаемой из (III. 40 а). Очевидно, что Tjinln 0 при Ь-+ 0, поэтому существует такое bo, что точка поворота луча находится в полости, когда b < b0. Имея в виду (111.35) для ек в полости, получаем
_ 1rImIn_
^ ~~ Wt-aIP-D '
откуда следует, что Tjmln -> а1/362/3, когда Ь-* 0.
Доказательство остальной части теоремы упрощается, если рассматривать траектории частиц и лучи света (III. 40 б) на евклидовой плоскости (т], ф). В частности, вычислив вектор главной нормали к линиям, можно убедиться, что он всегда направлен от центра (его радиальная компонента положительная), а радиус кривизны линии в точке поворота равен
2_bI__
/ ь* \ %
« (P-I) I — Я +3-2— I
V 7Jraln )
когда точка поворота находится в полости. При Ь—> 0 радиус кривизны также стремится к нулю как a~lb2 на траектории ча-_ J- -L
стицы и как а 3 Ь 3 на световом луче. Радиус кривизны в обоих случаях стремится к нулю быстрее, чем угловой момент или придельный параметр.
