Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
dri
1 _C1-L ь\I
ij-tj0
A1
Y 1-JL(1-
г- Zi-^ +
1+1/ 1-л. + -5-Ш V
-Y1--
а значения го и Tj0 связаны
f e!,dr,^o - [endrv_r, =
j 1-1-? j I1i=o
204* = Ioj/
1 +
O (P-I) і "ff
Io
1 +
Io
-1
і/1 +aJLzii+1
" rIo
(III.24)
Полученное общее внутреннее решение уравнений (III. 4 а) и (III. 4 б) гладко сшито на обеих — внешней и внутренней, если последняя существует,— границах источника с их внешними решениями вне соответствующих границ. Полное общее решение можно записать следующим образом:
D1 (/'>2т„. r>R, n>-nR),
D2(P<ZmtV P<°s, 0<r</?,
(111.25)
(ІІІ.26а)
1 r+p g*/2 Ia(I-P-M)+^]
P — 2 її3
(III.266)
(111.26B)
Y2 = *
j/l-^-d-P+*) D3 ip>as' r0<r<0, 0<T)<ti0) , [l + -^-(P- 1)], ** = A l)j • (HI.27)
Сюда включено и уравнение (III.5) в форме (111.26 в), соответствующей внутреннему решению уравнений (III. 4 а) и (III. 4 6).
Эти формулы содержат пять постоянных а, ?, г] 0, i\R и Д a вместе с определениями границ областей Db D2 и D3 — семь постоянных (к перечисленным нужно добавить постоянные г0 и R). Кроме того, общее решение уравнения (III. 26 в) зависит еще от ОДНОЙ ПОСТОЯННОЙ — значения Po давления В событиях Tj=Tlo (вместо ро можно использовать \х0, так как давление и плотность массы удовлетворяют уравнению состояния). Они не являются независимыми, а связаны тремя равенствами (III. 21), (III. 23) и (III. 24) и двумя условиями (III. 7) и (III. 9), или (III. 126) на обеих границах источника, в событиях которых давление задано.
205 Поэтому полное общее решение зависит от трех произвольных независимых постоянных rjo, ? и р0 (или [I0) интегрирования.
Характер решения существенно зависит от значений этих постоянных. Необходимо различать три типа решения в соответствии с тем — больше, меньше или равна единице постоянная р.
1 ,а. р=1, Tio=O,/?0 =T^ 0, Область Dz отсутствует вместе с внутренней границей, формулы (III. 26 а, б) представляют известное (см. например, Ландау и Лифшиц, 1973) внутреннее решение, а уравнение (III.26 в) сводится к уравнению Толмена—Оппенгейме-ра—Волкова гидростатического равновесия. Следовательно, общее решение содержит решение Толмена — Оппенгеймера — Волкова как частный случай. Оно зависит от одной постоянной ро (или \i0).
16. р=1, т]о>0, Ро*?0. Гиперповерхность Ti=Tio является несвободной внутренней границей источника, отделяющей его от пустой полости D3. Геометрия мира в полости евклидова, гравитационное поле отсутствует. Давление и плотность массы имеют наибольшие значения на внутренней границе. Производная компонента goo метрики, как и давление, терпит разрыв непрерывности на поверхности полости. Это объясняется наличием на ней безмассовой твердой оболочки, препятствующей заполнению полости веществом источника и его излучением. Самоподдерживание вещества на внутренней границе невозможно из-за жидкого состояния источника. Поэтому само существование пустой полости здесь обязано существованию «подпорки». Для устранения подпорки из решения необходимо изменить исходное условие задачи и ввести в тензор энергии-импульса источника упругие напряжения.
Решение зависит от двух произвольных постоянных и является релятивистским аналогом решения задачи для сферического распределения массы с пустой полостью в ньютоновой теории тяготения.
Значению ро=0, когда ?= 1, соответствует тривиальное решение — тело отсутствует, а геометрия мира всюду евклидова.
2 а. ?>l, Tio^O, ро=0. Имеется свободная внутренняя граница источника, область D3 — пустая полость, геометрия которой неевклидова. В центре симметрии находится голая сингулярность метрики, мировая линия сингулярности временноподобная. Решение зависит от двух произвольных постоянных и не имеет классического аналога в ньютоновой теории тяготения.
2 6. ?>l, Tio^O, po?=0. Внутренняя граница несвободная. Разрывы непрерывности давления и первой производной компонента goo метрики на внутренней границе объясняются, как и в 1 а, наличием на ней безмассовой абсолютно отражающей твердой оболочки. В центре находится голая сингулярность метрики, мировая линия которой временноподобная. Решение зависит от трех произвольных постоянных и не имеет классического аналога.
3. ?<l. В этом случае имеется гиперповерхность, на которой
обращается в нуль величина 1 ——(1 — Она является гори-
206* зонтом событий, аналогичным сфере Шварцшильда. В центре находится сингулярность метрики, мировая линия которой прост-ранственноподобная. Решение не имеет аналога в ньютоновой теории тяготения.
Решения в случаях б первых двух типов не представляют большого интереса с физической точки зрения, так как они предполагают существование несвободных внутренних границ источника (трудно вообразить условия, при которых в теории тяготения, классической, и тем более релятивистской, задача с заданными несвободными границами имела бы реальный смысл). Третий тип решения, по-видимому, вообще лишен какого-либо физического смысла. И только при значениях постоянных, соответствующих случаям 1 а и 2 а, решение находит приемлемую физическую интерпретацию, если и внешняя граница источника свободная. В дальнейшем изложении будут иметься в виду только первые два типа решения, т. е. ? ^=1, а границы источника, внешняя и внутренняя, если она есть, предполагаться только свободными.
