Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Определение 10. Критической называется гиперповерхность внутри источника, на которой уравнение
+ -Lj97^ о (111.28)
уд OB л етво р я ется.
Значения радиальной координаты и функции г] на критической гиперповерхности обозначены через гс и TJc соответственно.
Теорема 48. Общее решение уравнений Эйнштейна для сферически-симметричного жидкого источника, в котором отсутствует макроскопическое движение и границы которого свободные, зависит от трех ?, Tio, Po существенных произвольных постоянных интегрирования и одной произвольной функции радиальной координаты. Оно представлено формулами (III. 25) — (III. 27) вместе с граничными условиями (III. 6) — (III. 10). Решение Толмена — Оппенгеймера — Волкова является частным случаем общего решения, в котором двум из трех постоянных присвоены значения ?=l и Tjo=O. В этом случае источник представляет собой жидкий шар, имеет одну, только внешнюю, свободную границу; давление и плотности массы и числа частиц источника принимают максимальное значение в центре, критическая гиперповерхность вырождается в мировую линию центра, а решение зависит от одной произвольной постоянной — значения давления или плотности массы в центре. В остальных случаях у источника имеются две и только две, внутренняя и внешняя, свободные границы, на которых давление, в частности ро, равно нулю; полость, свободна^ от вещества и теплового излучения источника, с сингулярной временноподобной мировой линией в центре; давление и плотности массы и числа частиц источника принимают максимальное значение на критической гиперповерхности и монотонно падают
207* к обеим границам, а решение зависит от двух р>1 и г\о^О произвольных постоянных.
Доказательство. Доказательство теоремы частично вытекает из вывода формул (III. 25) — (III. 27). Докажем остальные утверждения. Пусть ? = l. Из (III. 26 в) в этом случае следует, что р'— всюду неположительная функция, и поскольку давление, согласно (III. 7), на свободной внешней границе источника равно нулю, то оно монотонно растет с уменьшением г. Внутренняя граница, следовательно, отсутствует. На внутренней границе, которая по условию теоремы может быть только свободной, давление, согласно (III. 9), должно было бы снова обратиться в нуль, что невозможно. Поэтому Tio=O, а область D2 источника содержит всю область изменения функции включая и мировую линию
Tj=O центра. В центре //=0. В противном случае производная компонента goo метрики, согласно (III. 5), имеет разрыв непрерывности, что не согласуется с принадлежностью метрики к классу C2 кусочно-гладких функций и уже доказанным отсутствием границы источника помимо внешней. С другой стороны, pf=0 только в центре. Действительно, вторая производная давления в точке обращения в нуль его первой производной отрицательная, поэтому точки перегиба давления отсутствуют, и в соответствии с монотонным ростом давления с уменьшением г точка р'=0 может находиться только в центре. Таким образом, давление имеет максимальное значение в центре и монотонно падает до нуля на свободной внешней границе. Это же относится и к плотностям массы и числа частиц, если учесть ограничения на физически допустимые уравнения состояния (Зельдович, Новиков, 1967), а именно, давление не может уменьшаться с увеличением плотности массы, а плотность массы только увеличивается с увеличением плотности числа частиц и только уменьшается с ее уменьшением.
Наконец, на мировой линии центра удовлетворяется уравнение (III. 28). Других корней это уравнение при ?=l иметь не может. Мировая линия центра, следовательно, является вырожденной критической гиперповерхностью.
Пусть теперь р>1. Предположим, что внутренняя граница, как и в случае ?= 1, отсутствует. Тогда давление отлично от нуля во всей области Но левая часть уравнения (III. 28),
согласно (III. 21) и (III. 22), положительна на внешней границе и отрицательна в центре, поэтому уравнение (III. 28) имеет корень в интервале OCtjCti^. Следовательно, существует невырожденная критическая гиперповерхность, на которой р' = 0, а давление имеет максимальное значение (р"<0) и монотонно уменьшается с уменьшением ті от т|с вплоть до нулевого значения, так как давление, согласно (III. 26 в), не может иметь минимума (в точках //=0 всегда Это противоречит предположению, что и до-
казывает существование свободной внутренней границы, на которой Po=Of когда р>1. Наоборот, если существует свободная вну-
208* тренняя граница, то давление принимает максимальное значение на некоторой гиперповерхности между обеими, внутренней и внешней, границами , производная давления на ней обращается в нуль, поэтому она является невырожденной критической гиперповерхностью, а р>1.
В остальном доказательство теоремы не представляет трудностей. Геометрический СМЫСЛ ПОСТОЯННЫХ P И Т|о легко уяснить, если ввести инвариантное определение двумерной поверхности источника.
Определение 11. Поверхностью источника (вещества) называется двумерная поверхность, всюду ортогональная к нормали границы источника (вещества) и к временноподобным мировым линиям, принадлежащим границе, вторая и третья кривизны которых равны нулю, а первая нормаль в каждом событии линии совпадаете нормалью к границе.
