Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Арифов Л.Я. -> "Общая теория относительности и тяготения" -> 76

Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.

Арифов Л.Я. Общая теория относительности и тяготения — СССР: Фан, 1983. — 304 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayateoriyaotnositel1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 115 >> Следующая


KdJamat = к,,Lmat = 0, />mat (P0) = 0. (ШЛО)

Если абсолютная температура равна нулю, то внутренние границы вещества и источника совпадают.

И, наконец,

P(P) =P(P) -0, ЄСЛИ P > 2mat " Р> V (Ш.11)

Последние равенства означают, что источник отсутствует в событиях, находящихся с внешней стороны соответствующих гиперповерхностей.

Поведение метрики на любой из рассмотренных границ следует из требования принадлежности метрического тензора к классу C2 кусочно-гладких функций: компоненты метрического тензора от-

197* носятся к классу C2 непрерывных функций вне границ, а на границах

= ^f(P0),

[*,, -?«Ч>] = V Ap*) 4) + T К P-A? <О] -

где — единичные некомпланарные ортогональные п" векторы, принадлежащие границам, один из которых — временноподобный, а величины Ativ и B^ разрывов непрерывности определяются уравнениями Эйнштейна и условиями на границах, наложенными на вещество и излучение.

Для квадратичной формы (III. 3) условия сшивания метрики на свободных границах принимают, поэтому, вид

IM-M = N=O. Fl = Kl = Kl = O.

Непрерывность Tj' на границах следует из уравнения (III. 4 а) Эйнштейна, а непрерывность Kf — из (ГІІ.4 6) и непрерывности давления на свободных границах.

Необходимо отметить, что сформулированное поведение метрики на границах предполагает правильный выбор системы координат. Поскольку компоненты метрического тензора преобразуются с помощью первых производных функций преобразования координат, а метрический тензор, согласно условиям сшивания, принадлежит к функциям класса C1 непрерывности, то допустимые преобразования координат должны принадлежать классу по крайней мере С2. В противном случае условия сшивания на границах для преобразованной метрики будут нарушены, что, конечно, будет свидетельствовать не о каком-либо новом характере физических процессов на поверхности разрыва непрерывности, а о «плохом» выборе новой системы координат. В частности, уже отмечалось, что преобразованием r-*r=f(r) одну из искомых функций в квадратичной форме (III. 3) можно привести к наперед заданной. Примером такого преобразования класса C2 является

7= J endr + const,

199* осуществляющее преобразование от формы (III. 3) к форме (Ари-фов, 1969 а)

df = -ех (dx0)2 + dr2 + у? O4sin20rfcp2), <111.13)

в которой обе оставшиеся функции гладко сшиты на границе. К другому примеру относится преобразование г = г|(г), переводящее форму (III. 3) в стандартную форму Шварцшильда

ds2= - ex(dxj + e*dr2+ г2 (d02 + Sin2Mcp2), (III. 14)

в которой уже компонент gп метрики не удовлетворяет условию гладкого сшивания. Разрыв непрерывности первой производной метрики в стандартной форме Шварцшильда происходит из-за разрыва непрерывности второй производной метрики в исходной форме (III.3). В этом смысле стандартные координаты Шварцшильда представляют определенное неудобство.

Если границы, или какая-нибудь из границ , не свободные, то на них, помимо (III. 6) и (III. 8), выполняются условия

IPI2 = -/»~(я0)<о.

W2 = hb = Ws-o, (ш.126)

Kl2 = KIs = O,

M2 = -V- (/>.)$$¦е^

вместо (III. 7), (III. 9), (III. 10) и (III. 12 а).

2. Внешнее решение. Общее решение уравнений (III. 4 а) и (III. 4 б) в области мира, для которой имеет место (III. 11), можно представить формулами

Y2 = + C1 = const, (III.15а)

ех = C2 ^l +--1), C2 = Const > 0,

Г e,2dr+Cz = Г—^-, С, = const.

J 1 + Т"

(III Л 56) (Ш.15в)

Существенной ПОСТОЯННОЙ В ЭТОМ решении является Cl. Если Ci=O, то кривизна мира равна нулю, а гравитационное поле отсутствует. Если C1=^=O, го кривизна мира отлична от нуля и сингулярна в центре симметрии г|=0. Следовательно, область изменения функции Т|—[0, оо).

Пусть на внешней границе Ss источника, совпадающей с внешней границей Emat вещества, r=R, а все события P>2mat, т. е. r>R, принадлежат области D1 мира. Метрика мира в Dx должна

199* удовлетворять условию галилеевости на пространственной бесконечности, а на больших расстояниях от источника — закону Ньютона всемирного притяжения, согласно с принципом соответствия 2. Из первого следует C2= 1, а второе условие означает, что С і = —а = —2 уМ (здесь M — полная масса источника). Впрочем, постоянная C2—она появляется при интегрировании (III. 4 б) — несущественная, и, как уже отмечалось, может быть задана наперед изменением масштаба временной координаты (в том числе и на пространственной бесконечности). Поэтому

D1 (Р > Snut).

Ч* = *'(I-JL)1 (111.16а)

= (1^t)' (шл6б)

i+yrrz

I

е*1*НгЛ-Г —ъ lA а і а

dr +Cl=ZflW i-jl+-?-in- -(111.16b)

V 4 «-/i-г

tJ

C4 = const.

Формулы (111.16 a) и (III.16 б) выражают в D1 решение Шварц-шильда. Действительно, достаточно из (III.16 а) выразить ё*dr2 и подставить в (III. 3) вместе с (III. 16 6), чтобы получить стандартное решение Шварцшильда. Формула же (III. 16в) выражает в явной форме остающийся произвол в выборе радиальной координаты координатной сетки.

Решение Шварцшильда имеет исключительно важное свойство — его формальное продолжение до центральной сингулярности лишено какого-либо физического смысла. Мировая линия сингулярности в решении Шварцшильда имеет пространственноподоб-ный характер, а сама сингулярность окружена горизонтом событий Tj = а (сферой Шварцшильда), в событиях которого отсутствуют временноподобные интервалы. Но в области мира, включающей в себя мировую линию центра симметрии, внешнее решение (III.15) сохраняет физическую значимость, если постоянная Ci положительная. В этом случае мировая линия центральной сингулярности имеет временноподобный характер, а горизонты событий отсутствуют (голая сингулярность). Пусть эта область мира обозначена через D3 (в D3 события P>os) и пусть в D3 осуществляется внешнее решение С положительной Cl- Очевидно, что области D1 и D3 не могут иметь общей границы, так как на ней внешнее решение С положительной Cl не может быть гладко сшито с решением Шварцшильда. А именно, первая производная функции Я не удовлетворяет условию (III. 12), если Сі>0 и Сі<0 на разных сторонах границы. Но они имеют общие границы с областью
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 115 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed