Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
§ 31. световые линии и мировые линии свободных пробных частиц
Мировые линии свободных пробных частиц являются вре-менноподобными (следствие 3), а световые линии — изотропными (теорема 6) геодезическими физического мира. Дифференциальные уравнения (I. 16) и (1.21) геодезических линий в физическом мире, определяемом формулами (III. 33) — (III. 35), полностью интегрируются в замкнутом виде.
Выпишем отличные от нуля символы Кристоффеля второго рода
Г* = - -п 1 - -^(1 - Р+А) . rj, = Sin2O,
Гд3— -sin Ocos 0, Ii3 =CtgO, Г
12"
/
Vі-
V ^i-o-p+A).
1 Oi 2
Г =
1 по
1 Ct (1 — Ч 4- <•) T- хрг?
* Yx-
—(-- (1-2 [у? ^
.(I-P + к)
X
-(I-P +A) exP
? + *) +XJPTJj X
(ц + р) T1 dr
Jy-T
(III.39)
Движение свободных пробных частиц в сферически-симметричном поле является плоским. Это же относится и к световым линиям.
И поскольку координатную плоскость 6 = всегда можно совместить с плоскостью движения (световой линии), то достаточно исследовать геодезические линии на экваториальной гиперповерхности. Если ввести индикатор q характера геодезической: q=—1 на временноподобной, q=0 на изотропной и q= + l на пространственноподобной геодезической, и единое обозначение о для канонического параметра геодезической не зависимо от ее характера, то решение уравнений (I. 16) и (1.21) можно представить следующим образом:
213*
= ± + +const, (IIUOa)
= ± j w eW[l + 1")]"1'' dr + const' (111-406)
где
ex = E = const, 712^jL = b = const;
знаки при интегралах соответствуют противоположным направлениям движения; постоянная интегрирования Ь связана с угловым моментом частицы; E — полная энергия, приходящаяся на единицу массы частицы. Для изотропных геодезических отношение bjE выражает расстояние до ближайшей к центру точки луча, если луч инфинитный. Для круговых геодезических, на которых значения координаты г и функции X постоянны, параметры Ь и E и «радиус» г или г\ круговой орбиты связаны формулами
1 3 (|_p + A) 1 х/М|а
? = lT---• (Ш'41а)
П
[uT(1"M)f
^L = A-J=_з-J--exp -X , <* + p^dr -
b2 7,2 JL (і-р-н A) + */nf I J j/i_jL(i_p+*)
(III.416)
Формулы (III. 40) и (III. 41) справедливы во всей области физического мира как внутри границ (область D2 решения (III. 33) — (III. 35)), так и вне границ (области D1 и D3) тела. Дифференциальные уравнения геодезических имеют второй порядок, содержат производные метрического тензора не выше первого порядка и, поскольку метрика (111.33)-(111.35) принадлежит по крайней мере классу C1 непрерывных функций, то координаты текущего события на геодезических линиях (III. 40) являются непрерывными функциями всюду, включая и границы, вместе со своими первыми и вторыми производными.
Реальное движение частиц внутри границы тела описывается, конечно, не уравнениями геодезических, так как в этой области мира частицы не являются свободными. В этом смысле формулы (III. 40) и (III. 41) для внутренней области не представляют практической ценности. Но с теоретической точки зрения в них заключен определенный смысл: они могут помочь выяснить характер гравитационного поля по его воздействию на пробные
214* частицы. Чтобы исключить влияние негравитационных сил (трение среды или соударения с частицами вещества тела), можно «вырезать» в теле источника вдоль мировой линии пробной частицы узкую трубку, свободную от вещества источника. Искажающим действием пустой трубки на метрику мира, а следовательно, и на движение частицы можно пренебречь, считая диаметр трубки сколь угодно малым. Теперь движение пробных частиц вне
Рис. 8. Геометрическим местом положения точек поворота свободных пробных частиц, угловые моменты которых равны нулю, а энергия—Et является кривая на фазовой плоскости (Et г), или (Et tj), и поскольку точки поворота на данной траектории определяются из равенства ех = E2 , то она совпадает с графическим изображением функции ех . Значениям 0, Tjc и на оси
абсцисс соответствуют центр, критическая гиперповерхность и внешняя граница гравитирующего тела.
P-I
границ тела и вдоль пустой трубки внутри границ является свободным падением под действием только гравитационных сил (Арифов, 1970).
Локальная скорость пробной частицы изменяется вдоль мировой линии согласно формуле
^2 = I. (Ш.42а)
а ее радиальная компонента соответственно
V2r= , + (111.426)
Область физического мира, которой принадлежит мировая линия свободной пробной частицы, определяется из условия, что правая часть (III. 42 6) неотрицательная. Точки, в которых правая часть обращается в нуль, называются точками поворота. Положение точек поворота зависит от полной энергии E и углового момента частицы. Кривая положения точек поворота в случае нулевого углового момента изображена на рис. 8.
Теорема 50. Пусть угловой момент свободной пробной частицы равен нулю. Если пустая полость отсутствует, а критическая гиперповерхность вырождена в мировую линию центра (?=l), то любая частица проходит через центр тела. Траектория частицы
216* финитная, а сама она осциллирует около центра, удаляясь от него на конечное расстояние гтах в обе стороны, если ?<1. Если E^ 1, то траектория инфинитная, частица падает на тело из бесконечности, проходит через центр и снова уходит в бесконечность в противоположном направлении. В случае, когда мировая линия центра сингулярная (?>l), никакая частица не достигает центра: она осциллирует около точки на критической гиперповерхности, всегда оставаясь по одну сторону от мировой линии центра, приближаясь к центру до минимального расстояния (rrain—г0) и удаляясь от него на расстояние ( rmax—гД если ?<1; или частица падает из бесконечности и снова уходит в бесконечность в том же направлении, отражаясь в точке Tmin, если E^ 1.
