Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Из отсутствия макроскопического движения внутри источника следует
и1 = 0, и°=-± = е-*!\
uO
Уравнения Эйнштейна (I. 17) удовлетворяются после подстановки в них метрического тензора из формы (111.3) и тензора энергии-импульса (1.18 6) либо тождественно, либо в силу трех следующих независимых уравнений:
'"(-T-^-2T)<,lWa>
+ = ^ (111.46)
= (Ш.5)
(штрихом обозначено дифференцирование по г). На самом деле третьим уравнением наряду с двумя (III. 4 а) и (III. 4 6), к которым сводятся уравнения Эйнштейна, является
„ / ,/ X'2 X'v'
* (*+V -¦T- + 2 -f-J = X(!X + Зр), ( 111.4b)
но легко показать, что системы уравнений (III.4a), (111.4 6), (III.5) и (III. 4 а), (III. 4 6), (III. 4 в) эквивалентны.
Уравнения поля (1П.4а), (111.4 6) вместе с релятивистским условием (III. 5) гидростатического равновесия и уравнениями состояния (III. 2) определяют все искомые функции. Согласно теории обыкновенных дифференциальных уравнений (Степанов, 1952), общее решение системы (III. 4 а), (III. 4 б), (III. 5) зависит от четырех произвольных постоянных. Одна из них — аддитивная постоянная интегрирования (III. 4 6) относительно искомой функции К — несущественная, так как ее значение можно привести к наперед заданному изменением масштаба временной координа*
195* ты. Поэтому общее решение зависит только от трех существенных произвольных постоянных.
1. Условия на границах. Для решения дифференциальных уравнений (III. 4) и III. 5) необходимо еще определить класс непрерывности искомых функций и условия сшивания их на множествах точек разрыва непрерывности. Такими множествами здесь являются границы источника и граница ( или поверхность) вещества источника, которые в общем случае не совпадают. Всякая граница есть временноподобная гиперповерхность S с единичным вектором п? внешней нормали к ней.
Пусть P0 — событие на 2, а функция f(P) имеет своим пределом значение /4" (P0) (или (P0)) независимо от пути, по которому событие P приближается к Po, всегда оставаясь с внешней (или внутренней) стороны от 2, указанной вектором Величина разрыва непрерывности функции на границе определяется разностью
Ifh^f+(P0)-Г (Po).
Тогда определением границы 2mat вещества источника является равенство
[Mw=-IW(^o)- («1-6)
На свободной поверхности вещества источника
^W = K.tLw = 0' /WW = O- <ш-7>
Граница или поверхность жидкого шара совпадает с границей источника только в случае нулевой абсолютной температуры жидкости. Если же температура отлична от нуля, то тепловое излучение с поверхности жидкости составляет часть источника, и внешняя граница Es источника становится неопределенной. Но поскольку излучение с внешней поверхности тела не поглощается и не отражается самой внешней поверхностью, а полностью рассеивается в окружающей тело части мира, оно не оказывает воздействия на внешнюю поверхность и не нарушает свободного характера внешней границы вещества, что и оправдывает условия (III. 7). Кроме того, излучение энергии с внешней поверхности нагретого тела непрерывно изменяет не только полную массу тела, но и его конфигурацию, что нарушает наложенное условие статичности решения. Однако во всех практически интересных случаях энергия, излучаемая с внешней поверхности в единицу времени, составляет ничтожную долю полной энергии источника, поэтому представляется разумным отождествлять внешнюю границу источника с внешней границей вещества, т. е. 2s = 2raat, и считать состояние источника квазистатическим.
Требуемое условие конечности изолированного тела означает заведомо существование внешней границы, отделяющей мировую
196* трубку, в которой заключено тело, от области мира, простирающейся на пространственную бесконечность, но не означает отсутствие границ внутри тела. Из условий задачи не следует, что источник непрерывно заполняет всю мировую трубку вплоть до мировой линии центра. Ими допускаются внутренние границы, отделяющие вещество и излучение тела от пустой области мира, все события которой всегда расположены на конечном пространственном расстоянии от мировой линии центра. Что касается несвободных внутренних границ, то их существование может и должно быть включено в граничные условия рассматриваемой задачи. Существование же или отсутствие свободных внутренних границ тела определяется самими уравнениями Эйнштейна и в общем случае не может быть определено априори, до их решения. Следует, поэтому, различать внешние свободные границы от внутренних свободных границ Omat вещества и Cs источника, если таковые предопределены уравнениями Эйнштейна.
Определением внутренних границ, таким образом, являются равенства
I^Lmit= Ы.,= ~?-{Ро)- (ЇІІ.8)
На свободной внутренней границе источника давление удовлетворяет условиям
[/'1, = 0. P(P0) = O. (ПІ.9)
Часть теплового излучения источника, заключенная между внутренними границами источника и вещества, в результате взаимодействия с внутренней границей вещества находится в локальном термодинамическом равновесии с ней. Абсолютная температура поэтому непрерывна на внутренней границе вещества, и вследствие закона Стефана — Больцмана, уравнения состояния (III. 2 г) и непрерывности давления на свободной внутренней границе имеют место условия
