Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
^lnp ,__1_
да cosa у \ cos2 а '
B = -nlD + Vn\-*\( I-D2),
—cos і 4- Jf1 (a cos 7 -f a cos O1 cos f)
D =
l/ !+a2 sin2 aX
Следует заметить, что в (11.61) справа присутствуют функции, зависящие от угла а2, поэтому формулой (11.61) при заданных
углах і, у и ai еще нельзя определить направление е2. Это связано с тем, что неизвестна в явном виде зависимость от а функции замедления среды. Если такая зависимость известна, то из (11.61) можно получить алгебраическое уравнение относительно a Cosa2. После подстановки в (11.61) корня этого алгебраического уравнения следует уже окончательная форма закона отражения луча на границе в оптической среде.
185* Нормали к волновым поверхностям на границе удовлетворяют условию
І = + (11.62)
Если V — угол падения нормали к фронту, то D=—cosi', что следует из (11.39). Поэтому закон отражения (11.62) нормалей к волновой поверхности совпадает по форме с законом преломления лучей Снеллиуса, в котором роль показателей преломления разных сред играет показатель преломления одной среды, но в разных направлениях — в направлении падающего луча П\ и отраженного п2.
Поскольку энергия волны переносится вдоль луча (а не нормали), то реальный интерес представляет условие отражения лучей (II. 61), а не простое по видимости выражение для отражения нормалей. Тем не менее, и (II. 62) может быть полезно, так как по нормалям можно восстановить, согласно (11.39), направление лучей.
В слабом метрическом поле разность углов отражения и падения и угол поворота плоскости отражения в оптической среде пропорциональны квадрату модуля метрического вектора.
3. Преломление на границе вакуум — среда. Подобно отражению можно рассмотреть и преломление лучей на границе. Если нормаль к границе снова направлена от среды в вакуум, то условия, которым удовлетворяют нормали к волновой поверхности, имеют вид
+ (11.63)
0 = W'-|/ I-(^)8SlnT. когда луч проходит в среду, и
^-^q + eTN, (11.64)
-T^cos'"+ 1Z1-(^sinv'
когда луч проходит из среды в вакуум.
Для получения закона преломления лучей необходимо в (И. 63)
и (II. 64) подставить вместо т] и q их выражения (II. 10) и (И. 39) через единичные векторы, касательные к лучам. Преломление нормалей по форме удовлетворяет закону Снеллиуса. В частности,
п sin ґ — tig sin Г,
но показатели преломления зависят от направления падающего и преломленного лучей. Преломление же лучей не подчиняется за-
186* кону Снеллиуса. Можно показать, что в случае слабого метрического поля закон Снеллиуса в линейном приближении выполняется для лучей в том и только том случае, если функции оптической среды представимы в следующем виде:
р (У, t, V, а, а cos а) = р (У, v) -f + [l —р(к1, v)]acosa + 0(a2cos2a), (П.65)
n[x\ t, v, я, а cos а) = n(x\ t, v)-f- e? a cos а + О (а2 cos2 а).
В соответствии с этим и теоремой 46 законы преломления в однородной оптической среде, покоящейся на вращающемся теле, отличаются от закона Снеллиуса во втором порядке по малому параметру сor.
§ 28. принцип локальной обратимости лучей
Если в правой части формулы (11.57), выражающей закон отражения лучей на границе в вакууме, произвести замену
Єх -> —Є2у І Г, Oii -> т. — CL2l
а в левой части
то равенство обеих частей не нарушится. Формула (II. 57) удовлетворяет принципу локальной обратимости лучей (в переменном метрическом поле лучи необратимы в нелокальном смысле). Принцип локальной обратимости применительно к законам преломления на границе вакуум — среда и отражения внутри оптической среды существенно ограничивает допустимую зависимость показателя преломления от аргумента a cosa.
Рассмотрим отражение на границе в оптической среде. Так
как лучи обратимы, то вектор (—?t) в формуле (11.61) можно
интерпретировать как отраженный е21 а (—?2) — как падающий
е\ лучи. Очевидно,
TC - CL2 , CL2 = TZ — CLv
Для обращенных лучей в соответствии с (11.61) следует записать равенство
е2 = ~Ч\--W\ \mi (1 - аcos aX) е\ +
m2 (1 — a cos а202J Iiv 1 1' 1
+ (тХ -«&') а + ЯЛ/}.
187* Его можно привести, разрешив относительно е\ и приравняв е\ = —е2 и е2 = —ev к виду
= 1—^ W2 (1 + а cos clX) ei +
^ /72j 4-a cos a2gjj i m 1
+ (т'Х- т'Х) a + BN }. (11.66)
Функции т и I удовлетворяют следующим соотношениям: Tnl (a cos л'г ^ = w ( —а cos a2j =
/7^ ^ZCOS &2 ) = TTl ^—CL COS OCjj =ZW1,
^f1' (a cos CL1 j = g7 (—a cos a2) = ^2, ^2 (a cos a2 j = ^(—aCosa1) = ^b Поэтому, полагая Bf=B и сравнивая (11.66) с (11.61), находим
(11.67)
где
X
Xex + Va+ ZN= О,
тх (1 — a cos аД) (і + Д cos a^)
:3 (1 — a cos ^?) m2 4- a cos (??) ' ^2? — m^S^
mA — TTir^o2
Z =
i2 (1 - a cos (??) -2 (1 + a cos a2g2) '
в 5"
(l - a cos Ot2^2) m2 ^ 1 4. a cos ^?) '
(11.68) (II.69a)
(11.696) (ІІ.69в)
Умножая (11.68) скалярно на eit а и N последовательно, получаем систему трех однородных алгебраических уравнений относительно искомых X9 Y и Z:
Ar + a cos CLi Y — cos iZ = 0,
a cos ьхХ + a2Y + a cos 7Z «= 0,
—cos iX + a cos 7 Y -f Z = 0.
