Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
179* Определим, как прежде, волновой вектор и частоту через функцию эйконала. Тогда вместо (И. 16) и (II. 17) получим уравнения
1= (11.41)
(v^)2= /I2V2. (11.42)
Умножим (II. 39) скалярно на а и разрешим полученное алгебраическое уравнение относительно acosa. Это возможно, потому
что векторы q и k параллельны, что следует из (11.41), а зависимость показателя замедления от a cos а предполагается известной. После подстановки a cos а как функции скаляра ^a j
в (И. 38) получим показатель преломления п в функции волнового вектора. Имея все это в виду, запишем уравнение дисперсии
* = —---г-^гт-' О1-43)
а также уравнения лучей для оптической среды
Формулу (II. 38) можно рассматривать как дифференциальное уравнение, связывающее обе функции — показатели преломления и замедления,— характеризующие оптическую среду. Если задана функция р, то из (И. 38) сразу же можно получить показатель преломления. Если же известна функция п, то показатель замедления может быть получен как решение дифференциального уравнения (11.38).
Теорема 45. При заданном показателе преломления оптической среды показатель замедления является единственным решением уравнения (11.38), регулярным во всех точках области определения.
Доказательство. Пусть функция п[х\ /, v, a, a cos a) известна. Перепишем уравнение (11.38) в следующем виде:
/г?-ср(— a cos a -J- VrI -f a2 cos2 a ) = = 1 Гp* + (a2 - a2 cos2 a) ( 7J?— + 1 -Y2. (11.45)
у и 4 '^acosa 1 у I + a2 C0S2 a J v '
Разложим правую и левую части этого равенства в ряд Тейлора в окрестности плоскостей a = O и a cos a = ±а пространства аргументов (Xit t, v, a, a cos а} и приравняем коэффициенты при нулевой и первой степенях. Получим
Po = ZU^tpUo. (11.46)
180* др_ = / дпе-f \ да U^o у да ja=0 '
(11.47)
Р\а cos -±« ={+ Я +V1 + ^2) С Пе 9)а cos _±<J,
'а cos
(11.48)
dp
1 + 4аЫ^1п[пе~9)) If
L У \ ZflCOSa=^e J)
(11.49)
Здесь использованы обозначения
/7o=z7ia=o' nO = л|а=0-
Из (11.46) и (11.49) следует также
dp t _ дпе~*
-Po +
(11.50)
Oa COS a |a=0 ^0 da COS a |я=о"
Уравнение (11.38) можно привести к виду дифференциального уравнения в частных производных первого порядка, разрешенного относительно первой производной искомой функции р по аргументу a cos а. Тогда равенство (11.48) определяет данные Коши этого уравнения на плоскости acqsa=a, или a cos а = —а в пространстве аргументов. Из существования и единственности решения задачи Коши (Смирнов, 1957) следует доказательство теоремы. Остается показать разрешимость уравнения (II. 38) относительно производной р по a cos а. Сомножитель a sin а производной искомой функции в (И. 38) обращается в нуль только при а=0 и a cos а= ±а. Поэтому разрешимость уравнения (11.38) очевидна для всех точек аф0 и acosa=?±a. Для точек, принадлежащих плоскостям а = 0 и acosa=±a пространства аргументов, разрешимость в классе регулярных функций следует из равенств (11.49) и (11.50).
В частности, если среда отсутствует, то n—ng, и в соответствии с (II. 9)
Функция р—1 удовлетворяет в этом случае как уравнению (II. 38), так и равенствам (11.46) — (11.50). Из единственности решения следует, что P= 1 — единственная функция в отсутствие среды, как это и должно быть.
дп
9
181* Информацию о функциях рип, определяющих оптические свойства среды в приближении геометрической оптики, можно получить из анализа экспериментальных данных. Для примера рассмотрим однородную диспергирующую среду, покоящуюся на вращающемся теле.
Теорема 46. Если однородная диспергирующая оптическая среда покоится на вращающемся с угловой скоростью со теле, а гравитационное поле отсутствует, то в линейном по шг < 1 приближении ее показатель преломления определяется формулой
я(\\ a cos а) = п (у) + юг cos а. (И.51)
Так как метрическое поле в системе отсчета вращающегося тела постоянно, а показатель преломления однородной среды есть функция n(v, cor cos а), то из уравнений лучей (11.44) следует, что частота волны также постоянна вдоль луча. Тогда в линейном приближении е* ~ 1, а a шг
X=T-L- / 1 — cor COS а — d1n/? сиг COS а |. (11.52)
vpo ^ (W COS а J0 J '
Предположим, что два когерентных луча обходят замкнутый контур внутри оптической среды в противоположных направлениях и интерферируют. Пусть при этом выполняются условия: 1) в точках пересечения контуром границы среды лучи нормальны к границе, 2) нормали к границе направлены по касательным к окружностям в плоскости вращения. В этом случае нормали к границе параллельны метрическому вектору, и лучи при прохождении через нее не испытывают преломления. Действительно, все три вектора — нормаль к границе, метрический вектор и вектор, касательный к падающему лучу,— коллинеарны, а какое-либо выделенное направление в изотропной среде отсутствует, следовательно, и преломленный луч коллинеарен падающему. Из этого можно заключить, что оба луча пробегают один и тот же путь, но в разных направлениях. Если обозначить через изменения фазы волны при прохождении контура в направлении вращения ( + ) и в противоположном направлении (—), то
