Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
191* или, имея в виду (II. 38),
« - ft , д\пр , а2віпгаїї% д*1пр } ,„сом
Vg~ р Г "Т" dlnv"*" і +аг Sia2a^2 д\п ^dacosai е'
Для фазовой и лучевой скоростей в среде имеем
Vp = Уд (11.83)
и
Vr=T*- (IL84)
В общем случае все три скорости в среде различаются. В отсутствие дисперсии совпадают лучевая и групповая скорости, а в отсутствие метрического векторного поля (в синхронных системах отсчета)—лучевая и фазовая, и только в недиспергирующей среде, помещенной в несинхронную систему отсчета, совпадают все три. Лучевая скорость при наличии дисперсии сохраняет смысл только скорости переноса фазы вдоль направления переноса энергии волны. Глава III
ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ ИЗОЛИРОВАННОГО ТЕЛА
§ 30. общее статическое решение уравнений
эйнштейна
Гравитационное поле изолированного невращающегося тела, в котором отсутствуют внутренние макроскопические движения, является центрально-симметричным и статическим. Точное внешнее решение уравнений Эйнштейна для такого тела было найдено Шварцшильдом (Schwarzschild, 1916 а). Затем было показано (Александров, 1923; Jebsen, 1921; Birhoff, 1923), что внешнее решение, характеризующееся центральной симметрией и удовлетворяющее галилеевой асимптотике, всегда статическое и, главное, единственное. Под единственностью понимается следующее: два решения в заданной области мира считаются тождественными, если одно может быть получено из другого преобразованием координат, устанавливающим однозначное соответствие между ними в .этой области. Шварцшильд же (1916 6) исследовал внутреннее решение для однородной идеальной жидкости. В последующие годы к анализу внутреннего решения обращались многие. Неослабевающий интерес к нему объясняется двумя причинами: математической строгостью и прозрачностью физической интерпретации решения и обширностью поля его применимости. Это единственное точное решение сложной системы дифференциальных уравнений Эйнштейна, которое широко применяется к описанию действительности — полей тяготения Солнца и планет; движения тел, в частности, планет в солнечной системе; равновесных состояний звезд и их эволюции, вообще астрофизических объектов.
Результаты исследования внутреннего решения схематически можно представить следующим образом: 1) анализ структуры внутреннего решения для произвольного уравнения состояния идеальной жидкости, на основе которого получено релятивистское уравнение гидростатического равновесия; 2) серия частных аналитических (иногда приведенных лишь к квадратурам) решений релятивистского уравнения гидростатического равновесия для конкретных уравнений состояния идеальной жидкости (Schwarzschild, 19616; Tolman, 1939; Oppenheimer, Volkoff, 1939; Misner, Zapolsky, 1964; Krori, 1971; Singh, 1973; Krori, Borgohain,
13-М
193 1974; Станюкович, Иванов, 1977; Коркина, Капитонов, 1980); 3) численное интегрирование для реалистических уравнений состояния*.
Это внутреннее решение в координатах Шварцшильда вместе с соответствующим ему уравнением гидростатического равновесия иногда называют решением Толмена — Оппенгеймера —Волкова. Оно является частным решением, отвечающим конкретным значениям двух постоянных интегрирования уравнений Эйнштейна и сохранившим зависимость лишь от одной постоянной интегрирования. Общее же внутреннее решение зависит от трех существенных постоянных, поэтому представляется необходимым получение общего решения, содержащего все постоянные интегрирования, его детальный анализ и извлечение из него физических следствий, характеризующих гравитационное поле и структуру сферического источника. Эта задача и является предметом данной главы книги.
Пусть изолированное тело представляет собой шар из идеальной жидкости. Его внутреннее состояние характеризуется распределениями давления р и плотностей р, массы-энергии и п числа частиц и описывается тензором энергии-импульса (1.18 6). Если тело нагрето, то идеальная жидкость является смесью вещества и теплового излучения, поэтому
Iа = IxOiat + ^rad . P = ^mat + ^rad • (П1Л >
Термодинамическое уравнение состояния жидкости предполагается известным в форме зависимости
Pmzi ~ Pmat (^mat)» (IIL2a)
либо
IW=IWt*)- О"-*)
В последнем случае давление находится из формулы
Ршat = W (Ш.2в)
Давление же и плотность энергии теплового излучения связаны равенством
Рш = -г IW <"1-2г)
В соответствии с поставленной задачей метрика мира должна удовлетворять условиям статичности, центральной симметрии и галилеевости на пространственной бесконечности. Существует система координат, в которой эти условия выражаются наиболее
* Обширную библиографию и подробное изложение этих вопросов можно найти в кн. Зельдович, Новиков, 1967, 1971; Уилер и др., 1967; Мизнер, Торн. Уилер, 1977.
194* просто. Если источник помещен в начало координат, то квадратичная форма в ней приводится к виду
ds2= -e\dx0)2+ edr2 + T12 (de2 + Sin2^cp2), (IIU)
где Я, V и г\ — функции только радиальной координаты такие, что A-* Of V —* 0 и когда r->oo. Не все функции X, v и ^
являются независимыми искомыми, так как преобразованием радиальной координаты, не нарушающим требуемых условий, функции ч или у] можно привести к наперед заданным. В частности, если произвести замену r->-r](r), то форма (JII.3) совпадет со стандартной формой Шварцшильда, а можно преобразованием г обратить в нуль v, и тогда искомыми функциями окажутся А и у] (Арифов, 1969а).
