Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
§ 26. ИЗОТРОПНАЯ ОПТИЧЕСКАЯ СРЕДА
Сформулированный в § 21 принцип Ферма для вакуума открывает путь к прямому обобщению его на случай распространения волны в изотропной оптической среде. К определению изотропной среды необходимо подходить с некоторыми предосторожностями. Всякая среда, поскольку она находится в метрическом поле, должна проявлять в определенной мере анизотропные оптические свойства. Эта анизотропность (наведенная) обусловлена, помимо влияния структуры ее атомного строения, оптической анизотропностью метрического поля и может исчезнуть только вместе с обращением в нуль метрического векторного поля, т. е. с помещением среды в синхронную систему отсчета. Но и в этом случае она не свободна от влияния метрического скалярного поля, которое должно порождать дополнительную к собственной оптическую неоднородность среды. Оптические свойства среды полностью отвечают характеру ее внутреннего строения в том и только том случае, когда она покоится в неускоренной синхронной
системе отсчета, т. е. когда ф=0 и а = 0. В метрическом же поле она подвергается сложным деформациям, изменяющим ее оптические свойства.
Назовем поэтому изотропной оптической средой такую, которая будучи помещена в неускоренную синхронную систему отсчета является таковой. Допустимо считать, что функции, описывающие оптические свойства таких сред, зависят от точки среды, частоты волны, вообще говоря, времени (среда может меняться со временем) и векторного метрического поля. Именно векторное метрическое поле и может создавать наведенную анизотропию среды. Поскольку в изотропной оптической среде отсутствуют выделенные собственные направления, то зависимость от векторного метрического поля может входить только через его модуль и скалярную функцию acosa — проекцию векторного поля на на-
12—14
177 правление луча. Предположим, таким образом, что оптическая изотропная среда описывается показателем преломления п, представляющим собой в самом общем случае функцию
п = п{х\ t, V, а, а cos а). (11.32)
Определение этой функции, исходя из строения вещества, является одной из задач электродинамики произвольно движущихся сред или, что то же, сред, покоящихся в произвольной системе отсчета. В геометрической же оптике эта функция считается известной.
Удобнее исходить из другой функции
p=p(xl, t, V, а, а cos а), (11.33)
которая связывает лучевые скорости света в вакууме и оптической среде. Эта функция, которую уместно называть показателем замедления, вполне определенным образом выражается через показатель преломления и наоборот, и в неускоренной синхронной системе отсчета совпадает с ним (Арифов, 1978).
Обобщение принципа Ферма на диспергирующие среды в переменном метрическом поле становится трудоемким, так как частота здесь не остается постоянной вдоль луча, а зависит от метрического поля. Но в постоянном поле частота волны постоянна, и соответствующие формулы значительно упрощаются. Поэтому в последующем положим, что 1) оптическая среда не диспергирующая, если метрическое поле переменное; 2) оптическая среда может быть и диспергирующей, если метрическое поле постоянное.
Пусть скорость света в среде выражается формулой
J- = = -I- е-* (- a cos а + ]Л+а2 cos2 а ). (11.34) Тогда, имея в виду, что
(а)
dl -= Ы\ a cos a =I , получаем уравнение вдоль луча
d± = ре" [(аГ) + /(ГГ) + Uf Г ]. (11.35)
Теперь можно сформулировать теорему, выражающую принцип Ферма для изотропной среды.
Теорема 44. Распространение света между заданными точками в изотропной оптической среде происходит вдоль экстремальной кривой уравнения (11.35), а время распространения света является его стационарным в этих точках решением.
Следуя методу, изложенному в § 21, легко вывести уравнения экстремальной кривой
179* JpF d^JpF^aopF^ (II36)
дх1 & дг1 dk fti * >
и формулу для изменения значения функции, удовлетворяющей (11.35), в случае малого отклонения кривой от экстремальной —
V.
+ «(*.. X1; Oexp^j^dxj. (11.37)
Вычислим квадрат интервала вдоль экстремальной линии, для чего подставим (11.34) в формулу (I. 127). Вдоль луча в среде имеем
ds* = _ ^ і _ ± j dt2 J1 + ± [a cos а - j/^l + а2 cos2 а )2J.
Так как вдоль луча переносится энергия волны, то световая линия в среде не может быть пространственноподобной, поэтому всегда /7^1. Вводя обозначения
дрР
IF = nq"
и учитывая
да cos ее 1 , ч
& = —cosggO .
получаем _
п = ре9 (a COS а + У1 + a2 COs2 а ) X
- . 2 . 3 д\пр . I \21
1 + a sin а з--f- =T- 1
^dacosa У\ a2cos2a /
1/2
(11.38)
, « + ( + yr, J cos2- ) ( а - a cos а е)
q =-------Ї75— . (11.39)
\l + *Malll!LP-+ , 1 ff
L Vda cos а у 1 + a2 cos" a / J
Если /7=1, то п = ng1 <7—7?.
Легко выяснить, как и в случае распространения света в вакууме, что п — показатель преломления среды, а вектор q совпадает с нормалью к фронту. Поэтому угол между лучом и нормалью находится просто скалярным умножением равенства
(И. 39) на вектор е:
cos P = [l + Sin2 a + v l + J cos, 8 )' 1'1/2. (11.40)
