Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
151* тогда будет инвариантным (по значению, или ковариантным по форме) действие, экстремизация которого приводит к данным уравнениям, и значит, после формального применения теоремы Нётер появится (или может появиться) и некоторая новая сохранившаяся величина, не имеющая к физике отношения.
Во-вторых, законы сохранения механических величин даже в однородном мире формулируются только для инерциальных (или подобным им) систем отсчета, физическое пространство которых ортогонально временноподобному вектору Киллинга. Пусть физическая система описывается в двух инерциальных системах отсчета S1 и S2. Ясно, что, например, полная энергия (и ее плотность) в S1 и S2 различна, поскольку различаются векторы е* для S1 и S2. Пусть теперь некоторая неинерциальная система отсчета S3 до момента времени Z1 совпадает с S1, а после t2 совпадает с S2. Очевидно, энергия физической системы в S3 до t\ совпадает с энергией системы в S1, а после t2 — с энергией в S2. Следовательно, энергия в S3 уже не сохраняется, ее значение после t2 не равно значению до t\. Если же ввести некую величину, которую будем интерпретировать как сохраняющуюся в S3 энергию, то возникнут вопросы: почему эта новая величина не совпадает с энергией в S1 до t\ и с энергией в S2 после t2i почему, например, в системах S1 и S3, совпадающих до tu под энергией надо понимать разные величины.
Следовательно, хотя в неинерциальных системах отсчета и можно ввести различные комплексы, которые по внешней форме подчиняются законам, напоминающим законы сохранения, они не могут быть естественным образом вплетены в теорию. Модельное представление о сохраняющихся полных величинах предполагает, что сама инерциальная система отсчета никак не влияет или влияет одинаково во все моменты времени на результат измерения наблюдаемых, так как все ее состояния в каждый момент времени тождественны. Поэтому можно было ожидать, что законы сохранения в инерциальных системах отсчета отражают некий факт, подчиненный внутренним законам физической системы «безотносительно» к процессу измерения в какой-либо системе отсчета. Поскольку же неинерциальная система отсчета сама подвержена изменению, то и результаты измерения в этой системе не могут не нести определенной информации о системе отсчета и ее изменениях. Здесь уместно провести аналогию (но только аналогию!) с невыполнением закона сохранения энергии квантовой системы в процессе ее измерения классическим прибором. Поскольку измеряемая энергия подчиняется соотношению неопределенностей Гейзенберга, то о точном ее постоянстве не может быть речи.
В поле тяготения, согласно теории Эйнштейна, вообще нарушается однородность мира и, как следствие этого, не существует инерциальных систем отсчета, поэтому поиски сохраняющихся величин, таких как энергия и т. п., а вернее, поиски столь же глу-
152* бокой, как в классической физике, интерпретации подобных величин, по-видимому, обречены на неудачу. Это не означает, конечно, что гравитационное поле не обладает (или не переносит) энергией или нарушается закон сохранения энергии, а указывает только на возможную некорректность привычной формулировки закона сохранения в общей теории относительности.
Эволюция физической системы определяется уравнениями поля и движения, а отсутствие в теории «эффектов» исчезновения или появления из «ничего» вещества и излучения гарантируется следующей теоремой (Хокинг, Эллис, 1977).
Рассмотрим снова область мира Dt ограниченную кусками гиперповерхностей Гі, Г2 и Теперь 2 не обязательно временно-подобна, в некоторых частях она может быть и пространственно-подобной.
Теорема 35 (законы сохранения). Если тензор Гв3 равен нулю на 2 и на одной из границ Гі или Г2 области D и удовлетворяет условиям энергодоминантности, то он равен нулю в D, включая границы T2 или Гі соответственно.
Доказательство. Предположим обратное. Пусть Та^ФО в D. Введем функцию f(x) такую, чтобы выполнялось уравнение
гч/.4- f(r*e*) ^=(L203)
На всех со внутри D W ф 0 (лемма 21), поэтому (1.203) можно переписать в виде
Так как 4-вектор ра принадлежит ш, то последнее уравнение имеет единственное решение в области Д удовлетворяющее заданным значениям на какой-либо со внутри D. Следовательно, функция f существует и при сделанном предположении отлична от нуля.
Уравнение (1.203) сводится в D к уравнению непрерывности
- 0. (1.204)
Если Di и D2 — подобласти Dy на которые делится D произвольной гиперповерхностью со, лежащей между сої и С02, а Г — пересечение D с со, то, интегрируя по D1 и D2 и используя теорему Гаусса, получаем
ОWdV- [/2WdV = Oi
(г) (г|)
f /2WdV- [/2WdV=O.
(г.) (г)
153* Так как §f> O1 a T^-Q на T1 по условию, то gf = 0 на Г, тогда в силу произвольности (о и леммы 21 Та? = 0 в D. То же, если Гвр = 0 на Г2, что и требовалось доказать.
Эта теорема является своеобразной формулировкой законов сохранения, так как из нее следует, что вещество и излучение не могут ни возникнуть, ни исчезнуть из некоторой области мира иначе, как проходя через ее границу.
Следующая теорема в некотором роде обратна предыдущей.
