Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Арифов Л.Я. -> "Общая теория относительности и тяготения" -> 62

Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.

Арифов Л.Я. Общая теория относительности и тяготения — СССР: Фан, 1983. — 304 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayateoriyaotnositel1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 115 >> Следующая


Теорема 38. Распространение света между заданными точками пространства происходит вдоль экстремальной кривой уравнения (II. 3), а время распространения света является его стационарным в этих точках решением.

Такая формулировка принципа Ферма справедлива в самом общем случае без ограничений типа статичности или постоянства, налагаемых на метрику мира, а в этих последних случаях сводится к известным выражениям (Паули, 1947; Ландау, Лившиц, 1973). Уравнения (II. 7) представляют собой, по сути, результат применения вариационного принципа в своеобразной форме. Если метрические поля постоянны, то (И.7) и вовсе совпадают с уравнениями Эйлера — Лагранжа, а искомая функция t(X, Яь С) уравнения (II.3 а) легко приводится к виду функционала

X

ЦК К; С)= $F{xl(k); t'(\))dK

Вывод уравнений изотропной геодезической в такой вариационной форме имеет смысл еще и потому, что применение вариационного принципа в форме Лагранжа к изотропной геодезической вызывает сомнение. В лагранжевой форме в качестве

159* функционалов, экстремалями которых и должны быть изотропные геодезические, принимаются либо длина интервала (Паули, 1947)

(P1)

либо величина, пропорциональная квадрату длины интервала (Мёллер, 1975; Синг, 1963)

Изотропные геодезические обращают эти функционалы в нуль (минимальное значение), однако в окрестности каждой изотропной геодезической существует множество изотропных, но не геодезических мировых линий, которым принадлежат два фиксированных события P1 и P2f принадлежащие также и изотропной геодезической, и которые также обращают их в нуль. Поэтому в теории римановых пространств с неопределенной квадратичной формой приходится отказаться от вариационной задачи для изотропных геодезических в лагранжевой форме и обратиться к геометрическому определению (Фавар, 1960), согласно которому изотропная геодезическая — это такая мировая линия, вдоль которой ее касательный вектор переносится параллельно.

Пространственная кривая С, являющаяся экстремальной кривой уравнения (II. 3), называется лучом. Луч, проходящий через заданные две точки М\ и M2 пространства, определяется уравнениями (II. 7) вместе с граничными условиями (II. 2). Форма луча существенно зависит от момента времени t(Mx), в который свет проходит через начальную точку. Только в том случае, когда метрические поля постоянны, форма луча определяется единственным образом заданием двух его точек. Направление луча в каждой

точке задается единичным вектором е

Если из параметрических уравнений (II. 1) и (II. 4) распространения света исключить параметр и перейти от функции Xi(X) к

xHO* то вектор e(t) укажет направление луча в заданной точке пространства в момент времени, соответствующий прохождению света через эту точку. Подставим уравнения луча (II. 7) в формулу (II. 5) и положим X=X2. Получим

X1





160* Первые два члена справа определяют изменение времени распространения света между заданными точками Mi и M2 пространства в функции смещения этих точек, третий — разность времен распространения света между фиксированными точками Mi и M2 луча, когда между двумя прохождениями света через начальную точку Mі имеется временной сдвиг ot(X\, Лі). Время распространения света между заданными точками зависит, следовательно, как и форма луча, от момента времени t(M\), в который свет проходит через начальную точку. Только в постоянном метрическом поле это время постоянно для заданных двух точек на луче.

Постоянную б/(ЯіДі) необходимо сохранять в формуле (И. 8) в явном виде, так как в некоторых задачах геометрической оптики приходится разбивать интервал (A,i, A^) изменения параметра между исходной и конечной точками на несколько подынтервалов (например, в точках разрыва непрерывности оптического показателя преломления). Тогда приращение бt на каждом подынтервале имеет своим начальным значением приращение времени на предшествующем подынтервале. Только в постоянном метрическом поле, где все функции инвариантны относительно сдвига времени, приращение на всем интервале равно сумме приращений на подынтервалах.

§ 22. РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА В МЕТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

Сформулированный в § 21 принцип Ферма позволяет исследовать процесс распространения электромагнитных волн в метрическом поле в приближении геометрической оптики в отсутствие оптической среды (Арифов, 1975). Обозначим единичный вектор

в направлении -^r- через v\, а модуль вектора --через ng .

Легко получить формулы, выражающие ng и через известные

функции метрического поля и единичный вектор е, касательный к лучу:

здесь а — угол между направлениями луча и векторного метрического поля.

Рассмотрим совокупность лучей, исходящих в некоторый момент времени 11 из общей точки M1, и поверхность, образуемую текущими точками лучей в момент времени t2. По определению, эта поверхность является фронтом волны (или волновой поверхностью), если лучи связаны общим физическим происхождением.

11-14 161

dF Выделим из совокупности два близких луча, координаты точек пересечения которых с фронтом волны различаются на некоторый вектор Sxi(X2). Последний, очевидно, касателен к фронту. Для выделенных лучей Sxi(X1) = O, Ы(Хи X1J=O и S*(X2, X1J=O. Поэтому из формулы (И.8) следует, что вектор TQ направлен вдоль нормали к фронту волны.
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 115 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed