Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Отметим, что практическое значение задачи Коши в теории относительности невелико, так как вряд ли возможно фактическое задание начальных значений на всей пространственноподобной гиперповерхности (особенно в незамкнутом мире). Но возможность корректной ее формулировки имеет принципиальное значение для любой физической теории.
§ 19. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
В § 2 было показано, что уравнение непрерывности (1.10) для электрического 4-вектора тока можно привести к интегральной ферме (1.10 а), которая интерпретируется как математическая запись закона сохранения электрических зарядов. Рассмотрим этот вопрос подробнее. Пусть имеются поле 4-вектора Г, удовлетворяющего уравнению непрерывности
и область мира D9 ограниченная двумя кусками Гі и Г2 пересечения D С пространственноподобными гиперповерхностями 0)1 И (02 семейства со (**) =COnst, причем ни одно из событий «oj не принадлежит будущему любого события <02. «Боковую» времен-ноподобную гиперповерхность, образованную мировыми линиями точек замкнутой двумерной поверхности, ограничивающей Гь к замыкающую вместе с Гі и Гг границу D9 обозначим через S-
Умножая (1.180) на инвариантный элемент объема D и преобразуя по теореме Гаусса объемный интеграл к интегралу по граничной гиперповерхности, получаем
где е —единичный 4-вектор, ортогональный к <о в направлении будущего; п — единичный 4-вектор внешней нормали к 2'» dV— инвариантный элемент объема.
(1.180)
(1.181)
142* События сечения 2 гиперповерхностями 0) образуют двумерные поверхности, ограничивающие соответствующие трехмерные области Г, поэтому правая часть (1.181) представляет собой, суммарный поток вектора Г через границу области. Если величина Q распределена на со с плотностью q=—Ґеа, то левая часть (1.181) есть разность количеств Q, содержащихся в объемах Гг и Гь а равенство (1.181) выражает закон сохранения величины Q. Если D выбрана таким образом, что Ja на 2 равно нулю,, то (1.181) сводится ^ независимости Q от гиперповерхности семейства
Q = - f J\dV = const. (1.182)
(г)
Физическая система, описываемая полем Ґ, для которой существуют такие области D, называется замкнутой.
Уравнение непрерывности и закон сохранения, соответствующий ему, можно записать в привычной трехмерной форме. Введем скалярное q и векторное q поля равенствами
q = - Vl+ії (-7=?=- - а/ ) , (1.183а)
W — goo /
q1 = |Л +а2 е~Ч1. (1.1836)
Легко проверить справедливость тождества
± (VHq) + [Vhqi) -
где h — детерминант метрического тензора (1.121) физического» пространства. Поэтому в каждой системе отсчета уравнение непрерывности (1.180) эквивалентно следующему:
Jr(Yhq)-^dl(Vhqi)= 0. (1.184)
Умножая последнее на dxldx2dx3 и интегрируя, получаем
^qdv=-j)(qds). (1.185)
(г) (6)
Скалярная функция, определенная равенством (1.183 а), совпадает с фигурирующей в (1.181), так как нормаль к физическому пространству в сторону будущего есть единичный 4-вектор
{- VWoqO+ а2), VTТ^2(у== -?)}. Элемент объема dv =
= Vhdx*dx2dxz пространства инвариантен относительно группы преобразований (1.45), но, вообще, не совпадает с dV% инвариантным относительно общей группы (1.47).
143* Теорема 31. Уравнение непрерывности (I. 180) или (I. 184) 'есть дифференциальная форма закона сохранения (1.181) или (1.185). Если 4-векторное поле удовлетворяет уравнению непрерывности, то его проекция на ортогональное к пространственно-подобной гиперповерхности направление совпадает с плотностью •сохраняющейся величины. Равенства (1.180), (1.181), (1.184) и (1.185) выполняются, если для произвольной области мира выполняется хотя бы одно ,из них.
Уравнению непрерывности удовлетворяют плотности токов электрических зарядов (1.10) и массы свободных частиц или элементов некогерентной жидкости (1.20 а). Удовлетворяет ему и «плотность тока электромагнитного излучения», если в рассматриваемой области мира отсутствуют электрические заряды. Тензор энергии-импульса электромагнитного поля (1.18 г) в этом случае приводится к виду (Петров, 1961; Хокинг, Эллис, 1977)
ПГ - I«.«, + ". V, + H V1 + V1V3), (1.186) где jA(ttd) — собственное значение в собственных направлениях ил и v1, UaUa = — 1, v1va=I, uavx — 0. Если ввести изотропный вектор Xa
>¦« = «.+ v., (1.187)
то (1.186) можно переписать
C = W-V (1-188)
Тензор энергии-импульса излучения имеет ту же алгебраическую структуру, что и тензор свободных частиц (1.18а), поэтому излучение (свободное электромагнитное поле) ведет себя в определенном смысле так же, как свободные частицы (следствие 3),— линиями тока излучения являются геодезические мира, но в отличие от свободных частиц, они изотропны, а «собственная энергия» излучения, распределенная по объему пространственно-
подобной гиперповерхности с плотностью ^--tvad) подчи-
няется закону сохранения. Здесь
Л =¦= ^exp
л
Г « d^ ^
\ ua V Я—
J « >? Uk
a К — канонический параметр вдоль линий тока излучения. Действительно, из уравнений движения (1.19), которые имеют место для излучения в том случае, когда в рассматриваемой области мира отсутствуют электрические заряды, сразу же следуют уравнения (см. также теорему 6)
