Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Ix-^ = O С-189)
144*для мировых линии
dxa
ж
и уравнения непрерывности
{^П.-О- "V-)-^- (1Л90>
Смысл функции fx*rad) заключается в том, что в системе отсчета, вектор нормали к физическому пространству которой совпадает с собственным вектором и излучения, jx(rtd) совпадает с его плотностью энергии. Впрочем, это относится и к первым двум сохраняющимся токам — электрических зарядов и массы свободных
частиц. Инвариантные функции р, \х и M4ra(I)' характеризующие системы электрических зарядов, свободных частиц и поток излучения, суть плотности электрических зарядов, массы покоя и энергии излучения соответственно на семействе таких гиперповерхностей, ортогональные направления к которым параллельны их вре-менноподобным собственным направлениям. Такие гиперповерхности существуют не всегда.
Лемма 19. Семейство гиперповерхностей, ортогональных к касательным и заданных временноподобных мировых линий, существует в том и только том случае, если и удовлетворяет равенствам
Xai3 = O. (1.191)
Необходимость. Пусть гиперповерхности ортогональны її . Тогда
(U92)
Введем /= In ISI и запишем условие совместности (1.192)
% а - "а; ? + V. . ~ ^ ? = 0' (1Л93>
Умножая его на и , получаем
/, р = - % « * ~ tHA - <L'194)
Из двух последних уравнений следуют (1.191).
Достаточность. Если выполняются (1.191), то любое решение (1.194) удовлетворяет (1.193), поэтому уравнения (1.192) совместны, и гиперповерхности существуют. Решение же (1.194) в этом случае существует, так как в системе отсчета и*\ я0, 0, 0, 0} уравнения (1.191) сводятся к Xlk=Oi а (1.194) —к уравнениям
условия совместности которых, следовательно, выполняются.
10-14
145Гиперповерхности, удовлетворяющие условиям леммы, представляют собой физическое пространство в собственной системе отсчета электрических зарядов, свободных частиц и потока излучения (под собственной здесь понимается система отсчета, мировые линии элементов которой касательны к временноподобным собственным направлениям излучения и*, а не к линиям тока излучения Xа), когда эта система отсчета синхронная.
Следствие 13. В синхронной собственной системе отсчета и только в ней плотности электрических зарядов, массы покоя свободных частиц и энергии излучения совпадают с инвариантными функциями р, \i и ^rad) соответствующих сохраняющихся токов.
Как это видно из (1.183 б), в собственной системе отсчета плотность потока сохраняющейся величины равна нулю в случае электрических зарядов и свободных частиц, а в случае излучения отлична от нуля и направлена параллельно его собственному про-странственноподобному вектору Vа.
Всякий симметричный тензор второго ранга можно привести к одному из четырех типов (Хокинг, Эллис, 1977), но тензоры-энергии — импульса вещества и полей принадлежат только двум типам: для излучения или безмассовых частиц (второй тип) он имеет вид (1.186) или (1.188), а для вещества и связанного поля (первый тип) приводится к виду
= ^ + 1 Р{а)<а)^\ (1-195)
а —1
где [і — собственное значение в направлении собственного вре-менноподобного единичного вектора иа% а р{а) — три собственных значения в соответствующих им собственных пространственнопо-добных направлениях единичных векторов Все собственные векторы ортогональны друг другу. В случае вещества иа —4-век-
(а)
тор скорости частиц или элементов сплошной среды, а /г —главные значення тензора напряжений.
Тензоры энергии-импульса всех известных видов вещества и полей удовлетворяют условиям энергодоминантности, и есть основания думать, что эти условия являются необходимыми для любого физически значимого тензора энергии-импульса.
Определение 9 (условия энергодоминантности). Для любого временноподобного единичного вектора е тензор энергии-импульса удовлетворяет двум условиям: 1) инвариант ^ =Ta^ea е0 не отрицательный; 2) вектор P9 = -T^e* не пространственноподоб-ный.
Лемма 20. Тензор энергии-импульса удовлетворяет условиям энергодоминантности в том и только том случае, если p(rad) > 0,
И>0, *>\рм\.
146*Доказательство. Пусть имеется произвольный времен-ноподобиый единичный вектор е . Разложим его по ортонормиро-ванным собственным векторам тензора энергии-импульса первого типа:
е" = bua + cv(1)a + rfv(2)a + Av(3)a, b ф 0.
Тогда
9 = р + с2 (t* + рт) + d'( ц + рт) + A2 (ц + Р(3)) (1.196)
И We = _ {+ C2 (^2 - />(,)2) + рП + A2C у? - /П}.
(1.197)
Если j»>0, p + Pw> 0 и (і2-/7(а,2> 0, то g>0 и РаР.<0 независимо от значений коэффициентов разложения, и наоборот, если i">0 и P1PaK0 при любых с, d и А, то (i + /7(a)>0
и (X2 —У>2>0.
Для тензоров второго типа доказательство очевидно, если воспользоваться (1.188) и учесть, что еa Xa Ф 0.
Лемма 21. Если тензор энергии-импульса удовлетворяет условиям энергодоминантности и равен нулю для какого-либо
временноподобного вектора еа, то он равен нулю.
Доказательство. Пусть ^a3- тензор второго типа. Так
как е\ ф 0, то из ^ = O следует u(rad) = 0, поэтому и Га? = 0. Пусть T^ принадлежит первому типу. Если левая часть (1.196)