Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Арифов Л.Я. -> "Общая теория относительности и тяготения" -> 57

Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.

Арифов Л.Я. Общая теория относительности и тяготения — СССР: Фан, 1983. — 304 c.
Скачать (прямая ссылка): obshayateoriyaotnositel1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 115 >> Следующая


равна нулю, то из неотрицательности ({i + р{а)) и [х (лемма 20) следует |х = 0 независимо от значений сл d и Л, а из неотрицательности |х2 — р{аП следует р(а) = 0. Следовательно, и в этом случае Гв? = 0.

Инвариант cS и 4-векторы Pa и рл = Рл — %еа условно можно назвать плотностью энергии, 4-вектором плотности энергии-импульса и 4-вектором плотности импульса на пространственнопо-добной гиперповерхности, ортогональной еа. Вектор ра прост-ранственноподобный, принадлежит гиперповерхности и иначе может быть представлен равенством

л*=-^еЧ>іп)- о-198)

Легко видеть, что

^2 -PaPa = - P1P1 >0,

т. е. плотность энергии не меньше (равна в случае излучения) абсолютного значения плотности импульса. Отсюда термин энергодоминантность.

147* Плотность энергии вещества и излучения вместе с собственными значениями тензора энергии-импульса вещества определяет среднюю кривизну мира в точках гиперповерхности в пространственно- и временноподобных направлениях. Средней кривизной мира Kr на гиперповерхности в пространственноподобном направлении называется треть суммы кривизн в любых трех взаимно ортогональных направлениях, принадлежащих гиперповерхности, а средней кривизной Кт во временноподобных направлениях называется треть суммы кривизн мира в любых трех взаимно ортогональных направлениях, ортогональных к гиперповерхности.

Теорема 32. Средняя кривизна мира на пространственноподобной гиперповерхности в пространственноподобных направлениях равна

Kr-^W. (1.199а)

а во временноподобных направлениях —

Kr = - -J- [2W- V-+р(1) +р{2) + Л (1,1996)

Доказательство. Используя формулу (1.171), выражаю-Шую тензор кривизны мира через геометрические величины, принадлежащие заданной пространственноподобной гиперповерхности, можно вычислить кривизну мира в направлениях, определяемых парами векторов е, г\(п) и т)" г\щ:

К ( "W = І 1?пп + " ^ 7^ ~ "Т НппТ)\

К( 7W= H11H1H-Hll (p^ + ""ш" "" "У'

Ортогонализируя векторы г|"л) и учитывая уравнения Эйнштейна в форме (1.165), легко теперь получить формулы (1.199а), (1.199 6).

Следствие 14. Средняя кривизна мира определяется собственными значениями тензора энергии-импульса вещества в соответствии с формулой

к (ц -Pll)-Pm -pm). (1.200)

Теорема 33. Гауссова кривизна пространственноподобной гиперповерхности определяется ее второй квадратичной формой и плотностью энергии вещества и излучения, согласно формуле

^o«-г»+т(-»•"-(•:)')• <U01>

148* Гауссовой кривизной называется средняя внутренняя кривизна гиперповерхности. Теорему легко доказать, отталкиваясь от уравнений (1.165).

Термины плотность энергии, плотность энергии-импульса и плотность импульса присвоены соответствующим величинам условно, так как они не всегда имеют глубокий смысл сохраняющихся физических величин. Скорее наоборот. Пусть в мире существует вектор Киллинга (Эйзенхарт, 1947), который, по определению, удовлетворяет уравнениям

+ О- 0-202)

Этому вектору соответствует поле Zix=-TntvSv, удовлетворяющее в силу уравнений движения (теорема 7) уравнению непрерывности (1.180). Поэтому каждому вектору Киллинга отвечает сохраняющаяся величина, распределенная с плотностью Sv е^ (теорема 31). Если еа—также вектор Киллинга, как это имеет место, например, в инерциальных системах отсчета, то плотность сохраняющейся величины есть проекция Txv на два вектора Киллинга — на две степени свободы (подвижности) мира,— и в этом ее глубокий физический смысл. Тогда плотность энергии является плотностью сохраняющейся полной энергии и имеет смысл таковой только в системах отсчета, физическое пространство которых ортогонально временноподобному вектору Киллинга. Если к тому же и т]*л) (или только один из них) будут векторами Киллинга, то плотности соответствующих им сохраняющихся величин совпадают с проекцией 4-вектора плотности импульса на г|"л). При этом плотность потока энергии через двумерную поверхность равна проекции плотности импульса на ортогональное к поверхности направление. Другим векторам Киллинга отвечают законы сохранения момента импульса и движения центра инерции физической системы.

Теорема 34. Если в мире существуют направления подвижности мира, среди которых одно — временноподобнде, то в нем существуют и системы отсчета, в которых выполняются законы сохранения энергии и других механических величин, таких как проекции импульса и момента импульса вещества и излучения. Физическое пространство этих систем отсчета ортогонально временноподобному направлению подвижности мира. Число сохраняющихся величин вместе с энергией равно числу независимых направлений.

Условие максимальности числа сохраняющихся величин совпадает с условием максимальной однородности мира*. В мире постоянной кривизны существуют системы отсчета, в которых вы-

* Это и другое, близкое, хотя и не совсем совпадающее по содержанию с теоремой 34, утверждения впервые, по-видимому, сформулированы Фоком .(I960).

149* полняется закон сохранения всех десяти механических величин. В мире Минковского, в частности, ими являются инерциальные системы отсчета.
Предыдущая << 1 .. 51 52 53 54 55 56 < 57 > 58 59 60 61 62 63 .. 115 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed